Transwiki:拉普拉斯向量場

在向量微積分中，拉普拉斯向量場屬於向量場，既保守又不可被壓縮。如果該向量場表示為 v，則由以下微分方程描述：

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {v} &=\mathbf {0} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\end{aligned}}$

從向量微積分恆等式 $\nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )$ 它遵循

$\nabla ^{2}\mathbf {v} =0$

也就是說，v 滿足了拉普拉斯方程。

平面中的拉普拉斯向量場滿足柯西－黎曼方程：它是全形的。

由於 v 的旋度為零，因此（當定義域簡單連接時）v 可以表示為純量勢的梯度（參見保守向量場）φ：

$\mathbf {v} =\nabla \phi \qquad \qquad (1)$

然後，由於 v 的散度也為零，因此從等式（1）得出

$\nabla \cdot \nabla \phi =0$

這相當於

$\nabla ^{2}\phi =0$

因此，拉普拉斯向量場的勢滿足拉普拉斯方程。

參看

• 位流
• 調和函數