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函數與圖像

基本定義

函數是從定義域到值域的映射，為每個輸入分配唯一輸出。

1. 記號：$f:X\to Y$，其中$X$為定義域，$Y$為值域
2. 函數值：輸入$x\in X$的輸出記為$f(x)$
3. 圖像：在坐標平面上由所有點$(x,f(x))$構成的集合

• 說明：豎直線判別法用於判斷某曲線是否是某個函數的圖像

常見函數類型

1. 線性函數：$f(x)=mx+b$，圖像為斜率為$m$的直線
2. 二次函數：$f(x)=ax^{2}+bx+c$，圖像為開口由$a$決定的拋物線
3. 冪函數：$f(x)=x^{k}$（$k$為實數），不同$k$形狀不同
4. 指數函數：$f(x)=a^{x}\ (a>0,a\neq 1)$，單調性由$a$決定
5. 對數函數：$f(x)=\log _{a}x\ (a>0,a\neq 1)$，定義域$x>0$

• 示例：$f(x)=2x+1$為斜率為2的直線；$g(x)=x^{2}-4$為開口向上的拋物線

圖像的基本特徵

1. 遞增與遞減：若$x_{1}<x_{2}$且$f(x_{1})\leq f(x_{2})$則稱為遞增
2. 奇偶性：奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數滿足$f(-x)=f(x)$
3. 對稱性：奇函數關於原點對稱，偶函數關於$y$軸對稱
4. 截距：$x$截距滿足$f(x)=0$；$y$截距為$f(0)$

• 說明：奇偶性和截距有助於快速勾畫圖像的骨架

平移與縮放

1. 水平平移：$y=f(x-a)$向右平移$a$單位
2. 垂直平移：$y=f(x)+b$向上平移$b$單位
3. 水平縮放：$y=f(kx)$按${\frac {1}{k}}$倍水平縮放
4. 垂直縮放：$y=cf(x)$按$c$倍垂直縮放

• 示例：$y=(x-1)^{2}+2$由$x^{2}$右移1、上移2得到

反函數與對稱

1. 若$f$在定義域上雙射，則存在反函數$f^{-1}$
2. 圖像關係：$y=f(x)$與$x=f^{-1}(y)$關於直線$y=x$對稱
3. 單調性是反函數存在的常見充分條件

• 示例：$f(x)=2x+3$的反函數為$f^{-1}(y)={\frac {y-3}{2}}$

複合與分段

1. 複合函數：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
2. 分段函數：在不同區間用不同表達式定義，例如$f(x)={\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}}$
3. 圖像連接性與端點匹配需注意連續性

• 說明：分段定義時，端點處的取值與左右極限關係決定連續性

極值與導數的幾何含義（概念）

1. 切線斜率：導數$f'(x_{0})$為圖像在$x_{0}$處切線的斜率
2. 極值條件：若$f$可導，極值常出現在駐點$f'(x)=0$或不可導點
3. 凹凸性：由二階導數$f''(x)$判斷圖像的彎曲方向

• 說明：這是圖像分析的常用工具，入門可先通過差商與斜率理解

數據可視化與插值（簡述）

1. 離散數據的函數近似可用插值或擬合
2. 線性插值在相鄰點之間用線段連接近似
3. 多項式插值（如拉格朗日）可在若干節點上精確通過

• 示例：兩點$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1})$的線性插值函數為$y=y_{0}{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}+y_{1}{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

連續與間斷（基礎）

1. 連續的直觀理解：圖像可一筆畫成，不需抬筆
2. 斷點類型：可去間斷、跳躍間斷、無限間斷
3. 極限與連續的聯繫：若$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$則在$x_{0}$處連續

• 說明：分段函數在拼接點處的連續性需檢查左右極限與函數值

單調性與導數（進一步）

1. 若$f'(x)\geq 0$於區間內，則$f$在該區間單調不減
2. 若$f'(x)\leq 0$於區間內，則$f$在該區間單調不增
3. 若$f''(x)>0$，圖像凹向上；若$f''(x)<0$，圖像凹向下

• 例：$f(x)=x^{3}$在全域遞增，且$f''(x)=6x$在$x>0$時凹向上

對稱變換與鏡像

1. 關於軸對稱：$y=f(-x)$為關於$y$軸的鏡像
2. 關於點對稱：$-f(-x)$為關於原點的鏡像
3. 關於水平線對稱：$y=-f(x)$為關於$x$軸的鏡像

• 示例：若$f(x)=x^{2}$，則$-f(x)=-x^{2}$圖像關於$x$軸對稱

漸近線與遠端行為

1. 水平漸近線：若$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$，則$y=L$為水平漸近線
2. 垂直漸近線：若$\lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty$，則$x=a$為垂直漸近線
3. 斜漸近線：通過$\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}$與截距求得

• 示例：$f(x)={\frac {2x+1}{x}}$有水平漸近線$y=2$

表一：常見函數性質速覽

常見函數性質匯總

函數類型	定義域	值域（典型）	單調性	奇偶性
線性函數$y=mx+b$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R}$	$m>0$遞增，$m<0$遞減	無固定
二次函數$y=ax^{2}+bx+c$	$\mathbb {R}$	$[f(x_{0}),\infty )$或$(-\infty ,f(x_{0})]$	兩端增長，中間有極值	偶函數（當$b=0$）
指數函數$y=a^{x}$	$\mathbb {R}$	$(0,\infty )$	$a>1$遞增，$0<a<1$遞減	無固定
對數函數$y=\log _{a}x$	$(0,\infty )$	$\mathbb {R}$	$a>1$遞增，$0<a<1$遞減	無固定

表二：圖像變換對照表

常見圖像變換與效果

變換表達	幾何效果	參數含義	注意事項
$y=f(x-a)$	向右平移$a$	$a$為水平位移	定義域整體平移
$y=f(x)+b$	向上平移$b$	$b$為垂直位移	值域整體平移
$y=f(kx)$	水平壓縮為${\frac {1}{k}}$倍	$k>0$	圖像寬度變化
$y=cf(x)$	垂直拉伸為$c$倍	$c>0$	圖像高度變化
$y=f(-x)$	關於$y$軸對稱	符號取負	奇偶性相關
$y=-f(x)$	關於$x$軸對稱	乘以$-1$	極值翻轉

例題

題目

設函數$f(x)=(x-2)^{2}-3$。

1. 寫出其頂點坐標與開口方向。
2. 求截距（$x$截距與$y$截距）。
3. 說明由$y=x^{2}$經哪些變換得到其圖像。

解答

1. 頂點坐標為$(2,-3)$，開口向上（$a=1>0$）。
2. $y$截距：令$x=0$，得$f(0)=4-3=1$，截距為$(0,1)$。
3. $x$截距：令$f(x)=0$，即$(x-2)^{2}=3$，得到$x=2\pm {\sqrt {3}}$，截距為$(2-{\sqrt {3}},0)$與$(2+{\sqrt {3}},0)$。
4. 變換說明：由$y=x^{2}$先向右平移$2$單位（$y=(x-2)^{2}$），再向下平移$3$單位（$y=(x-2)^{2}-3$）。

常見誤區與檢查

1. 忽略定義域導致圖像不完整
2. 平移與縮放方向混淆
3. 反函數存在性條件未檢驗

• 提示：先寫出定義域和關鍵點，再勾畫骨架，最後細化形狀