使用者:Akira tanzivana/沙盒/方程與不等式

方程與不等式

基本概念

1. 方程：包含未知量的等式，通過求解使等式成立的未知量取值集合
2. 不等式：包含未知量的大小關係式，求解滿足關係的未知量取值範圍
3. 解集：滿足條件的所有取值構成的集合

• 例：方程$2x+3=7$的解為$x=2$；不等式$x>1$的解集為$(1,\infty )$

一元一次方程

1. 標準形式：$ax+b=0$，其中$a\neq 0$
2. 解法：移項、合併同類項、係數化簡
3. 通解：$x=-{\frac {b}{a}}$

• 示例：$3x-9=0\Rightarrow x=3$

一元二次方程

1. 標準形式：$ax^{2}+bx+c=0$，其中$a\neq 0$
2. 求根公式：$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
3. 判別式：$\Delta =b^{2}-4ac$決定根的類型（兩實根、重根或無實根）

• 示例：$x^{2}-5x+6=0$的兩根為$x=2$與$x=3$

二元一次方程組

1. 形式：${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}}$
2. 代入法與消元法是常用解法
3. 唯一解條件：${\frac {a_{1}}{a_{2}}}\neq {\frac {b_{1}}{b_{2}}}$

• 示例：${\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}}$解為$x=2,y=3$

不等式的基本性質

1. 同向加法：若$a>b$，則$a+c>b+c$
2. 正數乘除：若$a>b$且$k>0$，則$ka>kb$
3. 負數乘除：若$a>b$且$k<0$，則$ka<kb$（方向翻轉）
4. 倒數與平方：方向需結合定義域與單調性判斷

• 說明：乘除以負數導致不等號方向變化是解題關鍵

一元一次不等式

1. 形式：$ax+b>0$或$\geq ,\ <,\ \leq$等
2. 解法步驟：移項→係數化簡→若係數為負則方向翻轉
3. 解集常用區間表示，如$(\alpha ,\beta ]$、$[\alpha ,\infty )$

• 示例：$2x-3\leq 5\Rightarrow 2x\leq 8\Rightarrow x\leq 4$

不等式組與區間聯立

1. 交集：同時滿足多個不等式取交集
2. 併集：滿足其中任一條件取併集
3. 數軸表達：用開閉端點與方向線形象呈現解集

• 示例：$x>1$且$x\leq 3$的解集為$(1,3]$

絕對值與分段討論

1. 絕對值定義：$|x|={\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}}$
2. 含絕對值的方程/不等式需按臨界點分段討論
3. 三角不等式：$|x+y|\leq |x|+|y|$

• 示例：$|2x-4|=6$分兩段解：$2x-4=6$或$2x-4=-6$

線性規劃的初步（概念）

1. 線性約束可表示為不等式組
2. 可行域為平面上的凸多邊形（或更高維的凸集）
3. 目標函數在線性約束下的最優值出現在頂點

• 說明：這是不等式與優化的交叉應用

常見錯誤與檢查清單

1. 不等號方向遺漏翻轉
2. 去分母或開平方時未檢查額外解與定義域
3. 漏寫區間端點的開閉狀態

• 提示：解後代入原式驗證可有效避免錯誤