交换代数/域上的代数扩张与分裂域概览

[ 交换代数 ] - [ 交换代数/域与多项式环 ] - [ 交换代数/域上的代数扩张与分裂域概览 ] - [ 交换代数/伽罗瓦理论入门 ]

在交换代数中，域扩张 $L/F$ 是最常见的“背景升级”：在保留 $F$ 运算规则的前提下，把可用元素扩充到更大的域 $L$。
本页概览两件紧密相关的事：代数扩张与分裂域，并给出最常用的定义、构造思路与典型例子，作为后续 交换代数/伽罗瓦理论入门 的入口。

1. 域扩张与代数元

设 $L/F$ 为域扩张，$\alpha \in L$。
若存在非零多项式 $f(x)\in F[x]$ 使 $f(\alpha )=0$，则称 $\alpha$ 在 $F$ 上代数；否则称为超越。
若 $L$ 中每个元素都在 $F$ 上代数，则称 $L/F$ 为代数扩张。

2. 单扩张、最小多项式与扩张次数

对 $\alpha \in L$，记 $F(\alpha )$ 为由 $F$ 与 $\alpha$ 生成的最小子域（单扩张）。
若 $\alpha$ 在 $F$ 上代数，则存在唯一的首一不可约多项式 $m_{\alpha ,F}(x)\in F[x]$ 使得 $m_{\alpha ,F}(\alpha )=0$，称为 $\alpha$ 的最小多项式；且有
$[F(\alpha ):F]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha ,F}(x)$。

3. 分裂域：让多项式“全体根到齐”的最小域

设 $f(x)\in F[x]$。若在某扩张 $K/F$ 中，$f$ 可写为一次因子的乘积（在 $K[x]$ 中完全分解），则称 $f$ 在 $K$ 上分裂。
若 $E/F$ 满足：

• $f$ 在 $E$ 上分裂；
  
• $E$ 由 $f$ 的所有根生成，即 $E=F({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$；
  
• 在满足上述条件的扩张中 $E$ 最小；
  

则称 $E$ 为 $f$ 在 $F$ 上的分裂域。

4. 分裂域的构造要点（概念版）

分裂域一定存在，常见构造思路是“逐步加根”：

1. 若 $f$ 在 $F$ 上不分裂，先取一个不可约因子 $p(x)$；
   
2. 令 $F_1=F[x]/(p(x))$，则在 $F_1$ 中 $p$ 至少出现一个根；
   
3. 将上述过程对尚未分裂的部分重复，最终得到使 $f$ 完全分裂的扩张域；
   
4. 把所有根都加入得到的生成域，就是分裂域。
   

5. 两个经典例子

• $f(x)=x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$：分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，次数为 $2$。
  
• $f(x)=x^3-2\in \mathbb{Q}[x]$：仅加入 $\sqrt[3]{2}$ 还不够得到全部复根；其分裂域可表示为 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$（$\omega$ 为本原三次单位根）。
  

相關內容可參考：交换代数/伽罗瓦理论入门、交换代数/域与多项式环。