经典力学/勒让德变换与哈密顿量

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勒让德变换与哈密顿量

• 从拉格朗日到哈密顿：定义广义动量 $p_{j}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$。若速度到动量的映射可逆（正则性），可做勒让德变换得到哈密顿量 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$。

• 正则性条件：要求拉格朗日函数关于速度的海森矩阵 $\left[{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{i}\partial {\dot {q}}_{j}}}\right]$ 非奇异，以保证 ${\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ 可由 $\mathbf {p}$ 唯一确定。

• 物理意义：保守系统中 $H$ 等于总能量 $K+U$；非保守或显含时间时 $H$ 非必然守恒。

• 示例（质点-弹簧）：$L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}kx^{2}$，$p=m{\dot {x}}$，$H={\dfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kx^{2}$。

• 坐标变换下的不变性：勒让德过程依赖于速度—动量的对偶关系；在平滑坐标变换下构型与相空间的几何结构保持相容。

练习

1. 对一般的$L={\tfrac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\top }\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}-U(\mathbf {q} )$，推导$\mathbf {p} =\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}$与$H={\tfrac {1}{2}}\mathbf {p} ^{\top }\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {p} +U(\mathbf {q} )$。
2. 给出一个非正则拉格朗日（如$L={\tfrac {1}{2}}m({\dot {x}}-\alpha x)^{2}$的奇异极限）并讨论正则性失败的后果。