经典力学/品质因数与共振

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品质因数与共振

• 品质因数定义：欠阻尼系统的 $Q={\dfrac {1}{2\zeta }}={\dfrac {\sqrt {km}}{c}}$，亦可由能量法 $Q=2\pi \times {\dfrac {\text{储能}}{\text{每周期能量损失}}}$。

• 共振峰与半功率带宽：受迫响应的峰值近 $\omega \approx \omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$（小阻尼），带宽 $\Delta \omega =\omega _{0}/Q$，满足 $|X|^{2}$ 降至一半的频率间隔。

• 相位跨越：在共振附近相位从 $0$ 跃迁到 $\pi$；$\omega =\omega _{0}$ 时 $\delta =\pi /2$。

• 机械—电学类比：$(m,c,k)$ 对应 $(L,R,1/C)$；$Q={\dfrac {\omega _{0}L}{R}}={\dfrac {1}{\omega _{0}RC}}$。

• 测量方法：扫频测量幅度响应，取半功率点求 $\Delta \omega$，由 $Q=\omega _{0}/\Delta \omega$ 估计阻尼。

练习

1. 给定扫频曲线的半功率点$\omega _{1},\omega _{2}$与峰频$\omega _{0}$，求$Q$并估计阻尼比$\zeta$。
2. 证明在小阻尼近似下，共振峰频率与自然频率的偏差为$\omega _{\text{peak}}\approx \omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$。