多項式

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[编辑] 多項式的定義

多項式，即式子 $f (x) = a n x n + ...... + a 1 x + a 0$ ，而且若n為正整數，則稱此式為多項式

[编辑] 名詞解釋

項：多項式中每一個 $x n$ 皆稱之為多項式的項

次數：多項式 $x n$ 中每一項的n為此項的次數

同次項：若有多個多項式，其中每一項的 $x k$ 項稱之為同次項

首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為n，則稱此多項式為n次多項式

項數：顧名思義，即為多項式項的數目

係數：指任意多項式 $a n x n$ 中的 $a n$ 且 $a n$ 為多項式

零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式f(x)中，f(x)=c，而沒有其他 $x n$ 的項，其中c為常數

零多項式：零次多項式中的c=0者稱

[编辑] 多項式及非多項式

多項式裡面的任意 $x n$ 的n必須為正整數，否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式：

$x 10 + 60 x 8 - 33 x 5 + 42 x 2 - 3$ 、 $(\sqrt{2} - \sqrt[3]{5})x^2 - \sqrt[4]{6}$ 、 $\pi ^e x^{10^{10}} - 6x +1$ 、 $(3 + i) x 5 - 2 i x 2 + 1$

以下的式子不為多項式：

$2 x 3 + 10 x - 1$ 、 $5x ^ {\sqrt 2} + x^{3\pi} + 2x - 1$ 、 $x^3 - 5x^{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{x} -3\sqrt[3]{x^5}$ 、 $\sqrt{1 + x^2}$

[编辑] 習題

[编辑] 多項式的計算

多項式有類似於一般數字的運算，凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法

 當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫

[编辑] 加法

若有兩個多項式f(x)和g(x)，它們的同次項可相加，例子如下：例： $f (x) = 2 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + 5 x + 5$ 、 $g (x) = 5 x 4 + 10 x 3 + x 2 + 3 x + 2$ 則

$f (x) + g (x) = (2 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + 5 x + 5) + (5 x 4 + 10 x 3 + x 2 + 3 x + 2) = 7 x 4 + 13 x 3 + 3 x 2 + 8 x + 7$

[编辑] 減法

[编辑] 乘法

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[编辑] 大標題文字

== 大標題文字[[連結標題

粗體文字--58.177.173.22 2007年12月18日 (二) 10:24 (UTC)--58.177.173.22 2007年12月18日 (二) 10:24 (UTC)]] ==

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[编辑] 除法

[编辑] 餘式

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[编辑] 習題

[编辑] 因式分解

因式分解和整式的乘法一样，是一种整式的恒等变形，但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式 (a + b)(m + n) = a m + b m + a n + b n 从左向右是整式乘法，从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.

[编辑] 習題

[编辑] 最大公因式和最小公倍式

[编辑] 輾轉相除法

[编辑] 方程式求解

若設一個多項式f(x) = 0，則使此式成立的所有x我們稱之為此多項式的解，而求出此些x的過程稱之為求解，以下為各種求解的方法和一些定理的介紹：

[编辑] 代數基本定理

每個複係數的多項式至少有一個複數解

[编辑] 證明

[编辑] 一次因式檢驗法

[编辑] 根式解

[编辑] 一元二次方程式

任意的一元二次方程式 $a x 2 + b x + c = 0$ ，它的解都可用以下公式來表示： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

[编辑] 配方法

由乘法公式 $(m + n) 2 = m 2 + 2 m n + n 2$ ，可以對任意一元二次方程式 $a x 2 + b x + c = 0$ 進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：

1. $ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

2. $x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0$

3. $x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2$

4. $x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{c}{a}$

5. $x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{c}{a} \Rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

6. $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

7. $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

[编辑] 根與係數的關係

設一元二次方程式 $a x 2 + b x + c = 0$ 的解為w和z，則有以下關係式：

$w+z = - \frac{b}{a}$

$wz = \frac{c}{a}$

這兩個公式由設w和z為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出

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[编辑] 代數基本定理

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[编辑] 一次因式檢驗法

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[编辑] 根與係數的關係

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[编辑] 根與係數的關係

[编辑] 一元四次方程式

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