概率论

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概率论

随机事件及其概率

在概率论里必须先定义一个可测空间

$\Omega$在$\mathcal{F}$中；

如果一个集合$A$在$\mathcal{F}$中，那么它的补集$A^c$也在$\mathcal{F}$中；

如果有可数个集合$A_1 , A_2, \cdots , A_n \cdots$都在$\mathcal{F}$中，那么它们的并集也在$\mathcal{F}$中。

用数学语言来表示，就是

$\Omega \in \mathcal{F};$

$A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F};$

$(\forall n\in \mathbb{N}~ ~ ~A_n \in\mathcal{F}) \Rightarrow \bigcup\limits_{n=1}^ \infty A_n\in \mathcal{F}.$

记号$\left(X,\mathcal{F}\right)$称为一个可测空间。$( \Omega,\mathcal{F}, P)$称为概率空间，如果$P$是一个概率测度，也就是说它必须符合

• 空集的测度为零：

$P(\emptyset) = 0$。

• $\sigma$可加性：若$A_1,A_2,\cdots$为$\mathcal{F}$中可数个两两不交的集合的序列，则所有$A_i\$的并集的测度，等于每个$A_i\$的测度之总和：

$P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)$

• 空集的测度为零：

$\mu(\emptyset) = 0$。

• 值在0和1之间并且

$P(\Omega)=1$

随机变量是一个$\mathcal{F}$可测的函数。

概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称$\Omega$为样本空间，$\mathcal{F}$为事件集合，其子集为随机事件。 以扔硬币为例：如果是一个有A，B两面的硬币。

$\Omega =\{ A,B\}$。假设我们赌“A”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量$X: \Omega \rightarrow \R$来表示。

$X(A)=1$，$X(B)=-1$

如果这个硬币没有做过手脚 那么随机事件 A 的概率 $P(A)=P(X=-1)=0.5$, 随机事件 B 的概率 $P(B)=P(X=-1)=0.5$. 符合$\sigma$可加性。

如果我们同时扔两个硬币

$\Omega =\{ (A,A), (A,B),(B,A),(B,B)\}$

一 随机事件

§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；
（1）试验可在相同条件下重复进行；
（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；
（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

  例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
                E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C……

  例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

  例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.

  例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
   例如，
   在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}
   在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}
   在E3中，Ω={0，1，2，……}

§2事件间的关系与运算

  1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A  B或B  A。 
     例如，在E1中，令件，简称为积，记为A  B或AB。
 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A  B={接到6的倍数次呼唤}
 5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
 例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝
 6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。
 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。
 7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为  显然  ，A∩B=φ