概率论
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[编辑] 随机事件及其概率
在概率论里必须先定义一个可测空间
在
中;
- 如果一个集合
在
中,那么它的补集
也在
中;
- 如果有可数个集合
都在
中,那么它们的并集也在
中。
用数学语言来表示,就是
记号
称为一个可测空间。
称为概率空间,如果
是一个概率测度,也就是说它必须符合
- 空集的测度为零:
-
。
可加性:若
为
中可数个两两不交的集合的序列,则所有
的并集的测度,等于每个
的测度之总和:
- 空集的测度为零:
-
。
- 值在0和1之间并且
随机变量是一个
可测的函数。
概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称
为样本空间,
为事件集合,其子集为随机事件。 以扔硬币为例:如果是一个有A,B两面的硬币。
。假设我们赌“A”,如果赢的话可以得到一块钱,输的话我们就输一块钱,这种情况可以用一个随机变量
来表示。
,
如果这个硬币没有做过手脚 那么随机事件 A 的概率
, 随机事件 B 的概率
. 符合
可加性。
如果我们同时扔两个硬币
[编辑] 一 随机事件
§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验;
(1)试验可在相同条件下重复进行;
(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;
(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简称为试验,并常记为E。
例如:E1:掷一骰子,观察出现的总数;E2:上抛硬币两次,观察正反面出现的情况;
E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件:在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为 A,B,C……
例如,在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件:每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件,记为Φ。
例如,在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件:试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间:从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.
例如,在E1中,用数字1,2,……,6表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6}便是E1中的基本事件。在E2中,用H表示正面,T表示反面,此试验的样本点有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然,任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如, 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
例如,
在E1中,Ω={1,2,3,4,5,6}
在E2中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
在E3中,Ω={0,1,2,……}
§2事件间的关系与运算
1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为A B或B A。
例如,在E1中,令件,简称为积,记为A B或AB。
例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼唤},B={接到奇数次呼唤},则A B={接到6的倍数次呼唤}
5、差:称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B。
例如,测量晶体管的β参数值,令A={测得β值不超过50},B={测得β值不超过100},则,A-B=φ,B-A={测得β值为50﹤β≤100}
6、互不相容:若事件A与事件B不能同时发生,即AB=φ,则称A与B是互不相容的。
例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若A={红灯亮},B={绿灯亮},则A与B便是互不相容的。
7、对立:称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为 显然 ,A∩B=φ
在
也在
都在


。
为
的并集的测度,等于每个
。
。假设我们赌“A”,如果赢的话可以得到一块钱,输的话我们就输一块钱,这种情况可以用一个随机变量
来表示。
,
