算术

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算术

以下習題另有解答，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。

普通算术

數的概念

• O → 1個O
• OO → 2個O
• OOO → 3個O
• OOOO → 4個O
• OOOOO → 5個O
• OOOOOO → 6個O
• OOOOOOO → 7個O
• OOOOOOOO → 8個O
• OOOOOOOOO → 9個O
• OOOOOOOOOO → 10個O

習題

以下的圖形共有幾個O？

1. OOOOO →？個O

2. OOO →？個O

3. OOOOOOOO →？個O

4. O →？個O

5. OOOOOO →？個O

試畫出指定個數的O：

1. 4个O

2. 2个O

3. 7个O

4. 10个O

5. 9个O

數的大小關係

哪邊的O比較多？

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。

大小符號以〈〉表示，開口一邊的數字比較大，若A〈B則稱A小於B，若A〉B則稱A大於B。

例子：

OOOO>O → 4>1 → 4大於1

OO<OOOOO → 2<5 → 2小於5

OOOOOO>OOOO → 6>4 → 6大於4

OOOOOOO<OOOOOOOO → 7<8 → 7小於8

加法

加法的符號是「+」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題：

1+1=2

1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。

習題

1+4=？

2+3=？

4+1=？

5+4=？

9+0=？

54+45=？

14+12=？

79+12=？

46+14=？

325+249=？

268+526=？

729+164=？

567+420=？

減法

減法的符號是「-」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：7-4=3

7是被減數，它被「減去」某個特定的數值4，也就是減數，得到差3。

減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明：

7-4=3，其中7是被減數，4是減數，3是差。 將4+3得到和7。

習題

8-2=？

9-5=？

4-2=？

6-2=？

8-7=？

59-13=？

73-45=？

92-72=？

48-38=？

509-372=？

869-107=？

678-181=？

489-226=？

乘法

乘法的符號是「X」或「·」，在電腦上常以「*」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：7*9=63。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：7(9)=63。

附錄的#乘法表，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法則：

• 交換律：$x\cdot y = y\cdot x$
• 結合律：$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)$
• 分配律：$x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z$
• $x\cdot1 = x$
• $x\cdot0 = 0$

習題

9*9=?

4*3=?

2*7=?

7*8=?

3*9=?

65*45=?

12*12=?

85*74=?

31*70=?

69*45=?

67*54=?

除法

除法的符號是「÷」，或以分線表示，在電腦上常以「/」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：63/7=9。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。
另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。

除法的法則：

• $x/1 = x$
• $x/x = 1$
• $x/0$ = 無答案，無意義
• $0/0$ = 不定值
• $-x/0$ = 負無限

習題

9/3=?

4/1=?

7/7=?

8/4=?

5/5=?

64/8=？

72/9=？

24/6=？

56/8=？

169/4=？

750/5=？

627/3=？

50/3=？

四則運算

括號( )之内的部份要先計算，然後四則運算要先乘除後加減。

習題

(10+3)*5=？

3*7+6=？

4*6+3*9=？

小數與分數

• 小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
• 分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3

習題

請分辨出分數和小數.

• 3.5
• 2/5
• 6.7
• 5/3
• 10/13
• 4.7

百分率

百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.
注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。

附錄一─速算技巧

自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。

乘法公式

「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。

1. 分配率：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
2. 和平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!$
3. 三數和平方：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!$
4. 差平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!$
5. 平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!$
6. 和立方：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!$
7. 差立方：$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!$
8. 立方和：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!$
9. 立方差：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!$
10. $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!$
11. $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!$

除以7

7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看：

1/7=0.142857142857...
2/7=0.285714285714...
3/7=0.428571428571...
4/7=0.571428571428...
5/7=0.714285714285...
6/7=0.857142857142...

看出规律来了没有？1/7=0.14,28,57，后面的数刚好是前面的两倍，28*2=56，而56*2刚好进一位就成57了。而后面2/7，3/7，4/7，5/7，6/7正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。
在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而22.4=3.2*7，3.2*10=32=2⁵，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。

附錄二─各種表格

加法表

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘法表

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
	1	2	3	4	5	6	7	8	9