訊號與系統/訊號頻譜

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Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 當前語言下顯示→通訊
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 當前語言下顯示→摺積
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 當前語言下顯示→數位
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 當前語言下顯示→傅立葉
information：大陆：信息；臺灣：資訊； 當前語言下顯示→資訊
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P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 當前語言下顯示→P-N接面
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Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 當前語言下顯示→訊號
Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 當前語言下顯示→訊雜比
Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 當前語言下顯示→第七號發信系統
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Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 當前語言下顯示→分時
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FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 當前語言下顯示→分頻多重進接
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SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 當前語言下顯示→分空間多重進接
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 當前語言下顯示→分時多工
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 當前語言下顯示→分頻多工
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 當前語言下顯示→空間多工
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波長分波多工
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 當前語言下顯示→整合數位強化網路
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 當前語言下顯示→通用封包無線服務
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 當前語言下顯示→展頻
spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 當前語言下顯示→展譜
Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 當前語言下顯示→封包
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 當前語言下顯示→蜂巢式資料
Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 當前語言下顯示→蜂巢式網路
Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 當前語言下顯示→位元
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 當前語言下顯示→時槽
error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 當前語言下顯示→錯誤更正碼
Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 當前語言下顯示→消息理論
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 當前語言下顯示→資訊理論
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 當前語言下顯示→取樣定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 當前語言下顯示→夏農
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 當前語言下顯示→類比廣播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 當前語言下顯示→類比電視
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 當前語言下顯示→解析度
Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 當前語言下顯示→數位廣播;zh-mo:數字廣播
Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 當前語言下顯示→數位電視
DVB-H：大陆：手持地面无线；臺灣：手持式數位視訊廣播；香港：手持式數碼視訊廣播； 當前語言下顯示→手持式數位視訊廣播
External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 當前語言下顯示→外接
Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 當前語言下顯示→數碼電視解碼器
USB Digital TV tuner：大陆：USB数字电视棒；香港：高清USB手指；臺灣：USB數位電視棒； 當前語言下顯示→USB數位電視棒
USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 當前語言下顯示→USB電視棒
diversity：大陆：分集；臺灣：多樣； 當前語言下顯示→多樣
Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 當前語言下顯示→來電轉駁
Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 當前語言下顯示→資訊科技
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Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 當前語言下顯示→訊框

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
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原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
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原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
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原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元素
原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→均值定理
原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

訊號頻譜(spectrum)

頻譜:

訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum) $A(f)$ 與相位頻譜(phase spectrum) $Ph(f)$ 兩部份。

$x(t)=3cos[2\pi (10)t-{\frac {\pi }{3}}]$

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

線頻譜(line spectra) ：

當 $A(f)$ 與 $Ph(f)$ 為離散頻率(discrete-frequency)函數時，此類頻譜稱為線頻譜。(如上頁圖例) 。

單邊頻譜(single-sided spectra) ：

當 $A(f)$ 與 $Ph(f)$ 兩頻譜只存在 $f>0$ 的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁圖例)。

範例4.2

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。請繪出弦波訊號 $x(t)=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$ 的單邊頻譜。

【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為 ${\frac {\pi }{6}}$ 。

弦波訊號的單邊頻譜

範例4.3

請繪出弦波訊號 $x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$ 的單邊頻譜。

【解】 (1)訊號的振幅大小要為正值，因此將訊號表示式改寫成：

$x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$

$=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}}+\pi )$

$=3cos(2000\pi +{\frac {7\pi }{6}})$

或

$x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$

$=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}}-\pi )$

$=3cos(2000\pi -{\frac {5\pi }{6}})$

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(2)訊號x(t)之振幅大小為3，頻率為1000Hz以及相位為 ${\frac {7\pi }{6}}$ 或 ${\frac {-5\pi }{6}}$ ，下圖顯示這兩種頻譜。

弦波訊號的單邊頻譜注意：此兩種表示其數學上完全相等

範例4.4

請繪出下列訊號的單邊頻譜。

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

【解】

改寫訊號表示式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$ = $3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-{\frac {\pi }{2}})+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

訊號由三個餘弦訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 $-{\frac {\pi }{2}}$ 與 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

範例4.5

請繪出訊號 $x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$ 單邊頻譜。

【解】訊號可改寫成 $x(t)=3cos(2000\pi t)+4cos(2000\pi t-{\frac {\pi }{2}})$ ，表示成由二個餘弦訊號組合而成，但其頻率皆為1000 Hz，因此必須合併。注意到cos(.)為非線性函數，二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相加，因此將訊號表示式改寫成：

$x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$

$={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}[cos(2000\pi t){\frac {3}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}+sin(2000\pi t){\frac {4}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}]$

$=5[cos(2000\pi t)cos\phi +sin(2000\pi t)sin\phi ]$

$=5cos(2000\pi t-\phi )$ ， $\phi =tan^{-1}{\frac {4}{3}}$

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

範例4.6

請繪出以下訊號的單邊頻譜 x(t)= $3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

【解】 (1)可將訊號表示式改寫成

x(t)= $3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})+cos(6000\pi t)-sin(6000\pi t)$ $=3cos(1000\pi t)+2cos(3000\pi t+{\frac {\pi }{2}})+4cos(4000\pi t+{\frac {5\pi }{4}})+{\sqrt {2}}cos(6000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成，其振幅大小分別為3、2、4與 ${\sqrt {2}}$ ；而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz；以及其相位分別為0、 ${\frac {\pi }{2}}$ 、 ${\frac {5\pi }{4}}$ 與 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

雙邊頻譜

有別於用餘弦(cosine)訊號所形成的單邊頻譜；根據尤拉公式(Euler equation) ，可將餘弦訊號寫成兩個相同大小(magnitude) 但反方向等速旋轉的相量(phasor)的和。即

$x(t)=A_{x}cos(2\pi f_{x}t+\theta _{x})$ $={\frac {A_{x}}{2}}e^{j\theta _{x}}e^{j2\pi f_{x}t}+{\frac {A_{x}}{2}}e^{j-\theta _{x}}e^{-j2\pi f_{x}t}$ $=[{\frac {A_{x}}{2}}e^{j\theta _{x}}]e^{j2\pi f_{x}t}+[{\frac {A_{x}}{2}}e^{-j\theta _{x}}]e^{-j2\pi f_{x}t}$

由上式可知，一餘弦訊號 $x(t)$ 可表示成兩個反向旋轉的相量的和。第一個旋轉相量每秒 $f_{x}$ 圈；第二個旋轉相量每秒轉 $(-f_{x})$ ，其負號是表示相反方向。

$x(t)$ 的頻域表示有兩種方式：

(1)採用餘弦訊號:

$A(f)={\begin{cases}A_{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$Ph(f)={\begin{cases}\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

(2)採用旋轉相量和：

$A(f)={\begin{cases}{\frac {A_{x}}{2}},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx or f=-fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$Ph(f)={\begin{cases}\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\\-\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=-fx}}\end{cases}}$

注意:

方式

(1)僅含 $f\geq 0$ 之頻域範圍，故稱為單邊頻譜方式。

(2)頻域 $f$ 包含正頻率及負頻率，故稱為雙邊頻譜。

範例4.7

試繪出 $x(t)=3cos[2\pi (10)t-(\pi /3)]=(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (10)t}+(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (-10)t}$ 之單邊及雙邊頻譜。

【解】

(1)單邊頻譜：

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

(2)雙邊頻譜:

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

注意：

(1)振幅的雙邊頻譜為一偶函數，其大小為單邊振幅頻譜的一半。

(2)相位的雙邊頻譜為一奇函數，其正頻率範圍之大小與單邊相位頻譜相等。

範例4.8

請繪出以下訊號的雙邊頻譜。 $x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

【解】

方式1：用尤拉公式改寫訊號成複指數型式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

$={\frac {3}{2}}(e^{j2000\pi t}+e^{-j2000\pi t})+{\frac {1}{j}}(e^{j3000\pi t}+e^{-j3000\pi t})$

+ $2(e^{j(4000\pi t)+\pi /4}+e^{j(4000\pi +\pi /4)})$

= ${\frac {3}{2}}e^{j2000\pi t}+{\frac {3}{2}}e^{-2000\pi t}+e^{-j\pi /2}e^{j3000\pi t}+e^{j\pi /2}e^{-j3000\pi t}$

+ $2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

= ${\frac {3}{2}}e^{-j2000\pi t}+{\frac {3}{2}}e{-j2000\pi t}+e{j(3000\pi t-\pi /2)}+e^{-j(3000\pi t-\pi /2)}$

+ $2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e^{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

方式2：改寫訊號成餘弦標準式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$ = $3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

由三個餘弦(cos)訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 $-\pi /2$ 與 $\pi /4$ ，再繪出對應的雙邊頻譜。

範例4.9

$x(t)=(3{\sqrt {2}})cos[2\pi (10)t+(\pi /4)]+(3/{\sqrt {2}})cos[2\pi (10)t-(\pi /4)]$ + $(1/{\sqrt {2}})cos[2\pi (15)t]+(1/{\sqrt {2}})sin[2\pi (15)t]$ - $2sin[2\pi (20)t-(\pi /6)]$