閱讀指南[編輯]
希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。
基礎知識[編輯]
知識引入[編輯]
卡爾·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß,1777年-1855年)是十八世紀末、十九世紀初最重要的數學家。他在哥廷根大學任職期間,創立了「哥廷根學派」,使哥廷根大學成為當時的世界數學研究中心。他的學生波恩哈德·黎曼也是對現代數學的發展影響深遠的名家。
200多年前,高斯的小學數學老師在課堂上提出了下面的問題:
據說,當其他同學忙於把100個數逐項相加時,小高斯卻通過巧妙的配對求和方法,算出了正確答案:
定義與基本概念[編輯]
等差數列又稱算術數列(arithmetic sequence),是相鄰兩項之差始終為常數的數列。等差數列相鄰項的常數差值叫做公差。[1]
如果已知等差數列
的首項
和公差
,通過依次倒推的方法,可以得到等差數列的通項公式:
![{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=((a_{n-3}+d)+d)+d=...=a_{1}+(n-1)d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3637c524eaf30ae164abebc10b62f89f91fc3c1a)
以
為首項、
為公差的等差數列的通項公式為[1]:
待定係數法求等差數列的通項公式與未知量[編輯]
當已知數列是等差數列,但只知道一部分量或關係式時,可以使用待定係數法設出等差數列通項的一般形式表達式,然後帶入已知條件中,通過化簡和比較系統確定通項公式中的未知係數。
相關例題1:若等差數列
的通項公式是
,求這個數列的公差。
相關例題2:在數列
中,
,求
的值。
相關例題3:在等差數列
中,設d為公差,求解下列問題:
(1) 已知
,求
。
(2) 已知
,求n。
(3) 已知
,求d。
(4) 已知
,求
。
如果已知條件中會出現特定數列的多個相鄰項,此時為了簡化計算,可以採取一些小技巧。例如當給出等差數列
中的奇數個相鄰項時,可以設夾在最中間的那一項為a,再以d為公差分別向2邊分別設項,即將已知的幾項設為
的形式;類似地,當給出等差數列
中的偶數個相鄰項時,可以設夾在最中間的兩項為
,再以2d為公差向兩邊分別設項,即將已知的幾項設為
的形式。
相關例題4:已知成等差數列的4個數之和為26,第2個數與第3個數之積為40,求這4個數。
相關例題5:已知5個數成等差數列,它們的和為5,平方和為165,求這5個數。
相關例題6:《九章算術》上有一道題,說已知甲、乙、丙、丁、戊這5個人分5錢(「錢」是一種古代貨幣計量單位),甲、乙所得之和與丙、丁、戊所得之和相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列,求這5個人各得了多少錢?
相關例題7:在三角形ABC中,角A、B、C的對邊長度分別為a、b、c。如果a、b、c成等差數列,
,三角形ABC的面積為
,求邊b的值。
倒序相加法與等差數列前n項和公式[編輯]
設
,
再逆序寫出各項:
,
將以上2式逐項相加得:
。
又因為
,
所以可得(一共n組求和):
。
以
為首項、
為公差的等差數列的前n項和公式為[1]:
即等差數列的前n項和等於首末項的和與項數乘積的一半[1]。此公式常以漢語口訣記為「首相加末項,乘以項數,再除以二」。
上述的求和方法叫做倒序相加法,因高斯求和的故事而聞名。
常用結論與常見模型[編輯]
等差數列通項公式的變形[編輯]
等差數列的常用性質[編輯]
將一個等差數列的每一項都乘以同1個常數後,得到的仍然是一個等差數列。
推論:設
是一次函數,
是等差數列,則
也是一個等差數列。即等差數列經過一次函數變換後的象仍然是等差數列。
相關例題1:設數列
、
都是等差數列,若
,求
的值。
相關例題2:在等差數列
中,
,求
的值。
相關例題3:已知等差數列
前9項的和為27,
,則
( )。
A.100;B.99;C.98;D.97
(出自2016年中國大陸新課標高考全國卷I第3題。)
相關例題4:已知等差數列
滿足
,求
的值。
相關例題5:已知數列
是等差數列,且
,求
的值。
相關例題6:在數列
中,
,且對於任意大於1的正整數n,點
都在直線
上,求
的表達式。
相關例題7:已知數列
是等差數列,且
,求
的值。
相關例題8:首項為
,公差d為正整數的等差數列
滿足
,滿足
的n的最小值是15。試求公差d和首項
的值。
相關例題9:已知
是首項為a,公差為1的等差數列。數列
滿足
。若對於任意的
,都有
成立,求實數a的取值範圍。
相關例題10:已知函數f(x)是定義在
上的單調遞增函數且為奇函數,數列
是等差數列,
,則
的值( )。
A.恆為正數
B.恆為負值
C.0
D.可正可負
相關例題11:設等差數列
的公差為d,若數列
為遞減數列,則( )。
A.![{\displaystyle d<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cadbf2ae5762e6c2f6721a1287d76a693abb0a2)
B.![{\displaystyle d>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddf6cd1242e088b641c76c3ee375466354f8d5a)
C.![{\displaystyle a_{1}d<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44f00e013f57eb04c5ae6e72feeb628d4debfc7)
D.
相關例題12:設等差數列
的公差為d。若等差數列
為遞減數列,則( )。
A.![{\displaystyle d<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cadbf2ae5762e6c2f6721a1287d76a693abb0a2)
B.![{\displaystyle d>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddf6cd1242e088b641c76c3ee375466354f8d5a)
C.![{\displaystyle a_{1}d<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44f00e013f57eb04c5ae6e72feeb628d4debfc7)
D.![{\displaystyle a_{1}d>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b45247d46529bb3e8497015b3ab1f453066568)
(出自2014年中國大陸高考遼寧卷第8題。)
相關例題13:設
是等差數列,下列結論中正確的是( )。
A.若
,則![{\displaystyle a_{2}+a_{3}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bf6c620d2372b2e9c4b46e74c895a1a8935fcf)
B.若
,則![{\displaystyle a_{1}+a_{2}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51770f66f844301d44f3848882d310b0381bbe85)
C.若
,則![{\displaystyle a_{2}>{\sqrt {a_{1}a_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f751635aa2a84cb12ed8a11662138bf0e8e71be)
D.若
,則![{\displaystyle (a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a40d7ac43f747fdf27635ea6ac339178d0c240)
(出自2015年中國大陸高考北京卷第6題。)
等差數列前n項和公式的變形[編輯]
等差數列前n項和的常用性質[編輯]
等差中項[編輯]
如果3個數a、b、c按順序構成等差數列,那麼b叫做a與c的等差中項,且滿足
。反過來,如果有
,也能判斷a、b、c一定構成等差數列。
相關例題1:在1和100之間插入k個數,使這k+2個數構成等差數列,求它們的公差。
相關例題2:在等差數列
中,
,
。若在此數列中每2個相鄰項之間都新插入一個數,使之成為新的等差數列,求此新數列的公差。
相關例題3:在等差數列
中,
,求
的值。
相關例題4:在等差數列
中,
,求
的值。
相關例題5:在等差數列
中,
,
,求
的值。
相關例題6:若
、
和
成等差數列,求x的值。
相關例題7:已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,求m和n的等差中項。
等差數列常用判定方法[編輯]
相關例題8:已知
成等差數列,求證:
也成等差數列。
參考解答2:已知
成等差數列,
即
成等差數列(它們同時擴大
倍後也成等差數列(公差也變為原來的
倍),
即
成等差數列,
即
成等差數列。證明完畢。
相關例題2:已知
成等差數列,並且
均為正數,求證
也成等差數列。
證明:已知
成等差數列,所以
。
對等式兩邊都乘以abc,得
。
![{\displaystyle (a-c)^{2}-(a+c)(a+c-2b)=a^{2}-2ac+c^{2}-a^{2}-2ac+2bc+2ab-c^{2}=-2(2ac-ab-bc)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b81742921c36b3ac1e7b4d3bbf1f6d6052caa9)
這說明
。
又因為
均為正數,所以
。
所以
成等差數列。
相關例題3:已知等差數列
的公差大於0,求滿足
。
(1) 求數列
的通項公式。
(2) 若數列
滿足
。判斷是否存在非零實數c,使得數列
為等差數列?若存在,求出c的值;若不存在,請說明理由。
需要簡單轉化和整體代換的遞推關係[編輯]
相關例題1:
已知數列
滿足
,且
,求
的表達式。
相關例題2:
已知數列
滿足
,求
的值。
相關例題3:
已知數列
滿足
,求
的值。
相關例題4:
已知正項數列
滿足
,求
的值。
相關例題5:在數列
中,
。
(1) 證明數列
是等差數列。
(2) 求數列
的通項公式。
(3) 若
對任意的
恆成立,求實數
的取值範圍。
簡單的同餘性質[編輯]
相關例題1:已知數列
是首項為3,公差為
的等差數列。若2019是該數列的一項,則公差不可能是( )。
A.2;B.3;C.4;D.5
相關例題2:已知在無窮等差數列
中,首項
,公差
。依次取出其中序號能被4除餘3的項,組成數列
。
(1) 求
和
的值。
(2) 求
的通項公式。
(3)
中的第503項是
中的第幾項?
補充習題[編輯]
- 若數列
是等差數列,則稱數列
是「等方差數列」。下列判斷中正確的有( )。
A.常數列是等方差數列
B.若數列
是等方差數列,則數列
是等差數列
C.若數列
是等方差數列,則數列
是等方差數列
D.若數列
是等方差數列,則數列
是等方差數列
- 設等差數列
滿足
,且
有最小值,求這個最小值。
- 已知數列
滿足
,求
的值。
- 已知正項數列
滿足
,求
的值。
- 已知正項數列
滿足
,求
的值。
- 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...
參考資料[編輯]
外部連結[編輯]