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以下習題另有解答,但強烈建議先練習習題,才看解答校正錯誤,而不是先偷看解答。
普通算術[編輯]
數的概念[編輯]
- O → 1個O
- OO → 2個O
- OOO → 3個O
- OOOO → 4個O
- OOOOO → 5個O
- OOOOOO → 6個O
- OOOOOOO → 7個O
- OOOOOOOO → 8個O
- OOOOOOOOO → 9個O
- OOOOOOOOOO → 10個O
習題:
- 以下的圖形共有幾個O?
- OOOOO → ?個O
- OOO → ?個O
- OOOOOOOO → ?個O
- O → ?個O
- OOOOOO → ?個O
- 試畫出指定個數的O:
- 4個O
- 2個O
- 7個O
- 10個O
- 9個O
數的大小關係[編輯]
哪邊的O比較多?
1. OOOOOOOO、OOOOO
2. OOOO、OOOOOOOOO
3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO
4. OOOOO、OOOOOO
假設有兩個數字,若該數字代表的O比較多,則該數字比較大。
大於、小於符號分別以「
」、「
」表示,開口一邊的數字比較大,若
則稱A小於B,若
則稱A大於B。
例子:
→
→ 4大於1
→
→ 2小於5
→
→ 6大於4
→
→ 7小於8
加法的符號是「
」,讀作「加號」,加號前的數稱為「被加數」,加號後的數是「加數」,等號後面的答案稱為「和」,如下例題:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{1}\\+{\underline {1}}\\{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0e629637ee6d9079099e6db96879f69d0ee9cf)
1是被加數,它被「加上」某個特定的數值1,也就是加數,得到和2。
習題:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
減法的符號是「
」,讀作「減號」,減號前的數稱為「被減數」,減號後的數是「減數」,等號後面的答案稱為「差」,如例題:
36是被減數,從這個數中被「減掉」11;導致別的數的數值減少的數就是減數(此例中的11)。36被11減,得到差25。
如果被減數小於減數,就會出現負數。如:
減法也是加法的逆算,若將減數加上差可得被減數,就拿上面的例子來說明:
,其中36是被減數,11是減數,25是差。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537e0e4fe114baf8d7bdda07f633af7d23828e62)
將減數11加給25,即
得到原來的被減數。
另外以下是退位減法的計算方式:
例如:238-74=?
我們可列豎式計算:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b9136987cfe40519a333a86397a7a7f27cbb15)
先計算個位數的部份:8-4=4
所以個位數先寫上4。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f63b0301ce049af9e643e058168445f9f9dda5d)
十位數不夠減,可以向百位數拿個1過來,變成13-7,運用口訣-7=-10+3,13-10+3=6,所以十位數先寫上6。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{64}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5780b8f321553b5f69d80f7e612c555ceaf3b412)
因為我們已經從百位數的2拿1走了,所以百位數剩下1。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{164}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485cfc5334a13627e9f30e7416e5eebf84e34312)
所以得到的解:238-74=164
習題:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
乘法的符號是「
」或「
」,在電腦上常以「
」表示,讀作「乘號」,乘號前的數稱為「被乘數」,乘號後的數是「乘數」,等號後面的答案稱為「積」,如例題:
。若乘數及被乘數是10或以下,那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外,也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號,如例題:
。
附錄的#乘法表,被乘數是1時,不必背誦。背誦其他九九乘法的積時,由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。
乘法的法則:
- 交換律:
![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310a59fb178014c0bafca46243fa280d7838a673)
- 結合律:
![{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27c3b680bd94bc409f7704de0cb7519d1d7bf30)
- 分配律:
![{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef04839940b9b2f33028670da2930e139873789)
![{\displaystyle x\cdot 1=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32d3aa48ec6fa10f6432548640b212bbc2ad281)
![{\displaystyle x\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b1b207154bd1e280dfdeba3c7f12840a184ff2)
習題:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
除法的符號是「
」,或以分線表示,在電腦上常以「
」表示,它們均讀作「除號」,除號前的數稱為「被除數」,除號後的數是「除數」,等號後面的答案稱為「商」,如例題:
。若除數及被除數是10或以下,那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外,部分數被除後可能出現循環小數或無限小數,那麼便需要轉化成分數來表示(有關小數和分數的資料,將會在下章介紹)。
另外,除的意義為「將一份平均地分為多份」,因此所有數除以零是無效(meaningless)的。
除法可以解讀成「重複的減法」。
例如 :
,就好像
,
,
被
減了兩次就變成
= ?
,因值已經低於0了,不能採用!
被
連減了3次,
就是餘數。所以
= 3餘3
除法的法則:
![{\displaystyle x/1=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562779ca5b116e1098aaa5d38b1c1a1f6133a5de)
(
≠
)
= ∞,無窮大
= 不定值
= 負無限
習題:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
等同於
自乘
次,即
。
- 主頁面:算術/開方
開方是乘方的逆運算。
四則運算[編輯]
所謂四則運算,是指數與數之間的加、減、乘、除這四種基本運算。括號
之內的部份要先計算,然後四則運算要先乘除後加減。
例題:
上題為:
在此步看見
與
可以把他們相約 改寫為
也稱跳步
習題:
?
?
?
?
?
小數與分數[編輯]
- 小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點,稱為「小數點」。例:3.5 ,4.5 ,8.45.
- 分數類似小數,表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母,代表共有多少份。上面是分子,也就是佔多少份。例:5/3
習題:
請分辨出分數和小數.
- 3.5
- 2/5
- 6.7
- 5/3
- 10/13
- 4.7
百分率[編輯]
百分率亦類似小數,表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多,有計算機率、表示數量等,例:35%, 48%.
注意:"%"的意思是百分之一,並不是除以100。
附錄一:速算技巧[編輯]
自古以來,人們總結了很多速算技巧。利用這些技巧,在很多情況下,能夠極大地提高人們的計算速度。
減法速算[編輯]
- 兩數交叉型減法速解法:
- 例如:
(由6和3所組成的算式,6用3去減,再乘以9)。
- 10的n次方減某數:
,速算法為將
視為
,並分拆各數位(
),然後各數位相減(
),得出最終結果(
)。
乘法速算[編輯]
- 乘以5的數:
- 數字乘以5:
,速算法為將36乘以10(
),再將結果除以2(
)。
- 乘以11的數:
- 兩位數乘以11:
,速算法為將6、3兩數之和(
),插入36的中間,(如和超過10則進位),即
。
- 三位數乘以11:
,速算法為將
、
插入5、6的中間,即
。
- 四位數乘以11:
,速算法為將
拆成
,再用
去乘它們,又
,
,故
。
,速算法為將
拆成
,再用
去乘它們,又
,
,故
。
- 乘以111的數:
- 兩位數乘以111:
,速算法為將6、3兩數之和
,加兩次,插入36的中間,(如和超過10則進位),即
。
- 三位數乘以111:
,速算法為將
拆成
,再用
去乘它們,又
,
,故
。
- 兩位數乘以121:
,速算法為將
拆為
。
格子乘法[編輯]
- 主頁面:w:格子乘法
第一步:畫帶斜線的格子,將第一數(58)寫在格子頂部,第二數(213)書寫着格子的右側如圖,格子斜線下方寫下乘積的個位數,格子斜線之上寫入乘積的十位數。
第一步
第二步:將每個格子頂上數字與同一格子右邊的數字相乘,將乘積逐個寫入格子內,然後自下而上按斜線將數字相加,將所得的和寫在格子圖之下或左邊:
,將4寫在斜線對齊的格子圖下邊。
,將和的個位數「5」寫在斜線對齊的格子下邊,十位數進位到下一位斜線中如圖
,將和的個位數寫在斜線對齊的格子邊上(左邊),將十位數進位。
,記入格子左邊
![{\displaystyle 1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d99fe618d7f25081f5f92fb9556b41e772bddc)
第二步
第三步:從格子左邊自上而下,接格子下邊自左至右,讀出乘積:12354
所以
第三步
除法速算[編輯]
- 除以5的數:
- 數字除以5:
,速算法為將36除以10(
),再將結果乘以2(
)。
- 除以11的數:
- 數字除以11:
,速算法為從左側依序刪除數字,並記錄刪除的數字,然後再在下一個數位減去刪除的數字。
從左側刪除一位數字之後為
,記錄
。
。
從左側刪除一位數字之後為
,記錄
。
。
從左側刪除一位數字之後為
,記錄
。
。
從左側刪除一位數字之後為
,記錄
。
。
- 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字:
。
- 下方為遇到特殊情況時的處理方式:
。
從左側刪除一位數字之後為
,記錄
。
- 但
的結果為負數:此時將將原先記錄的數字減1,改記錄
;然後將減數的首數位減一,並在被減數的首數位前添加數位1,得
。
- 但此時結果的前兩位數字為
,無法進行下一步行動,否則會陷入無窮迴圈。此時應該將
視為一個獨立的數位整體,然後執行下一步行動。
從左側刪除(技術上的)一位數字之後為
,記錄
。
的結果為負數。
- 此時將原先記錄的數字減1,改記錄
。然後將減數的(技術上的)首數位減一,並在被減數的首數位前添加數位1,得
。
從左側刪除一位數字之後為
,記錄
。
。
- 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字:
。
除以7[編輯]
7是很特殊的數字,而求除以7的小數值往往令人頭疼。其實除以7的計算中蘊藏着非常簡單的規律。請看:
看出規律沒有?
,後面的數剛好是前面的兩倍,
,而
剛好進一位就成57,後面
,
,
,
,
正好都是這串數中的一段,只是起始位置不同而已。只要記住142857這串數,就可以很易算出所有除以7的值。
高中化學有條定理,這規律非常有用:1摩任何氣體的體積都接近22.4升。而
,
,在計算中,3.2這因子很易約去,而知道除以7的規律,這種計算往往就變得很快。
乘方速算[編輯]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Wikipedia%27s_W.svg/25px-Wikipedia%27s_W.svg.png)
建議閣下在閱讀此節前先閱讀並熟記
§ 乘方表一節的內容。
- 10至19的乘方:
![{\displaystyle (10+a)^{2}=10\times (10+a)+10a+a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fee6d21be4e7d3f1a56f522e6609abc2aa1654)
- 20至99的乘方:
- 同前式,但須將20至99之間的數取近似值至十位,並將原式中的10替換成此數。
公式可以將繁複的計算變易。
- 分配率:
![{\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7fb0d8960937e305dab7a7edbc7a3ddcf411f5)
- 和平方:
![{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e790659d23b83235c75b9954ba869c53dd1eb6)
- 三數和平方:
![{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4824ee6b31c6b7caca86d3a4faf6ffcbd57a0d34)
- 差平方:
![{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66116861b14f3a6eeac050cbafcbf07562c5268)
- 平方差:
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6bfb6789247f87b44050ca56a610a1241a2fd9)
- 和立方:
![{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ef62718784cde29ee2d8fceccc8ad4ea4fe32d)
- 差立方:
![{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb14b649d077d09fc515bf6c1fc13e6d14ece4c)
- 立方和:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd22c225069feac0eb3e3b285fcd28f4e73fc87)
- 立方差:
![{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b3ca2806e11068cc58e75ff83a110c9a4121cb)
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505b1999bfc9b748561ce425cb7c2e461c7b2904)
![{\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe3460ce3e00ce1988e6d1f37f26abae5091ce3)
特殊公式[編輯]
![{\displaystyle 1^{2}+1=2^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdcc7a7a60642b65e5594717c992cf61a6243fe)
![{\displaystyle 2^{2}+2=3^{2}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8010bbb6c567d00d5bdd207934b9cce677e8de2)
![{\displaystyle 3^{2}+3=4^{2}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07474ff72b004fb3f8f0663ad2452a5d65d54ce3)
![{\displaystyle 4^{2}+4=5^{2}-5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d2da8e83316b17bad1746ca34af778b85acfdd)
![{\displaystyle 99^{2}+99=100^{2}-100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ff8063c3a219a9118820d4437869d1a3d457db)
已知
,求a的值。
解答:
附錄二:各種表格[編輯]
加法表[編輯]
+
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
乘法表[編輯]
×
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
1
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
2
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
3
|
6
|
9
|
|
|
|
|
|
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
|
|
|
|
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
|
|
|
|
6
|
6
|
12
|
18
|
24
|
30
|
36
|
|
|
|
7
|
7
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
49
|
|
|
8
|
8
|
16
|
24
|
32
|
40
|
48
|
56
|
64
|
|
9
|
9
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
乘方表[編輯]
^
|
2
|
3
|
1
|
1
|
1
|
2
|
4
|
8
|
3
|
9
|
27
|
4
|
16
|
64
|
5
|
25
|
125
|
6
|
36
|
216
|
7
|
49
|
343
|
8
|
64
|
512
|
9
|
81
|
729
|
對數表[編輯]
常用對數表[編輯]
log
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
0000
|
0043
|
0086
|
0128
|
0170
|
0212
|
0253
|
0294
|
0334
|
0374
|
11
|
0414
|
0453
|
0492
|
0531
|
0569
|
0607
|
0645
|
0682
|
0719
|
0755
|
12
|
0792
|
0828
|
0864
|
0899
|
0934
|
0969
|
1004
|
1038
|
1072
|
1106
|
13
|
1139
|
1173
|
1206
|
1239
|
1271
|
1303
|
1335
|
1367
|
1399
|
1430
|
14
|
1461
|
1492
|
1523
|
1553
|
1584
|
1614
|
1644
|
1673
|
1703
|
1732
|
15
|
1761
|
1790
|
1818
|
1847
|
1875
|
1903
|
1931
|
1959
|
1987
|
2014
|
16
|
2041
|
2068
|
2095
|
2122
|
2148
|
2175
|
2201
|
2227
|
2253
|
2279
|
17
|
2304
|
2330
|
2355
|
2380
|
2405
|
2430
|
2455
|
2480
|
2504
|
2529
|
18
|
2553
|
2577
|
2601
|
2625
|
2648
|
2672
|
2695
|
2718
|
2742
|
2765
|
19
|
2788
|
2810
|
2833
|
2856
|
2878
|
2900
|
2923
|
2945
|
2967
|
2989
|
20
|
3010
|
3032
|
3054
|
3075
|
3096
|
3118
|
3139
|
3160
|
3181
|
3201
|
21
|
3222
|
3243
|
3263
|
3284
|
3304
|
3324
|
3345
|
3365
|
3385
|
3404
|
22
|
3424
|
3444
|
3464
|
3483
|
3502
|
3522
|
3541
|
3560
|
3579
|
3598
|
23
|
3617
|
3636
|
3655
|
3674
|
3692
|
3711
|
3729
|
3747
|
3766
|
3784
|
24
|
3802
|
3820
|
3838
|
3856
|
3874
|
3892
|
3909
|
3927
|
3945
|
3962
|
25
|
3979
|
3997
|
4014
|
4031
|
4048
|
4065
|
4082
|
4099
|
4116
|
4133
|
26
|
4150
|
4166
|
4183
|
4200
|
4216
|
4232
|
4249
|
4265
|
4281
|
4298
|
27
|
4314
|
4330
|
4346
|
4362
|
4378
|
4393
|
4409
|
4425
|
4440
|
4456
|
28
|
4472
|
4487
|
4502
|
4518
|
4533
|
4548
|
4561
|
4579
|
4594
|
4609
|
29
|
4624
|
4639
|
4654
|
4669
|
4683
|
4698
|
4713
|
4728
|
4742
|
4757
|
30
|
4771
|
4786
|
4800
|
4814
|
4829
|
4843
|
4857
|
4871
|
4886
|
4900
|
自然對數表[編輯]
1
|
0
|
2
|
0.693147180559945
|
3
|
1.09861228866811
|
4
|
1.386294361119891
|
5
|
1.6094379124341
|
6
|
1.791759469228055
|
7
|
1.945910149055313
|
8
|
2.079441541679836
|
9
|
2.19722457733622
|
10
|
2.302585092994046
|
11
|
2.397895272798371
|
12
|
2.484906649788
|
13
|
2.564949357461537
|
14
|
2.639057329615258
|
15
|
2.70805020110221
|