可计算性理论

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基础知识[编辑]

计算机模型[编辑]

原始递归和递归函数[编辑]

可计算性[编辑]

程序的编码[编辑]

元计算程序[编辑]

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存在元计算程序 使得对任何编号为 n 的程序 P, 计算的函数完全一致。

停机问题[编辑]

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定义函数 如下:

不是递归函数.

证明. 设 h 为递归函数, 则存在程序 P 计算 h.

设计程序 Q(n) 如下. 运行程序 P(n, n), 若返回 0 则停机, 若返回 1 则进入无限循环.

令 m 为 Q 的编号. 假定 P(m, m) 返回 1, 说明 Q(m) 停机, 但是 Q(m) 停机当且仅当 P(m, m) 返回 0, 自相矛盾.

同理,假定 P(m, m) 返回 0, 说明 Q(m) 无限循环, 但是 Q(m) 无限循环当且仅当 P(m, m) 返回 1, 自相矛盾.

以此推定, h 不是递归函数. (证毕)

递归集合和递归可枚举集合[编辑]

第一不完备性定理[编辑]

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设 T 为延伸 PA 的理论,若 T 相容且递归可枚举,则 T 为不完备理论。

符号证明[编辑]

模型论证明[编辑]

Tennenbaum 定理[编辑]

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设模型 ,若 可数且不同构于 则:

  1. 为非递归模型;
  2. 为非递归函数。

第二不完备性定理[编辑]

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设 T 为延伸 PA 的递归可枚举理论,若 则 T 为不相容理论。

算数阶级[编辑]

不动点定理[编辑]

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为一递归函数,则存在 n 使对任意 x

且若两者都停机,则

.

莱斯定理[编辑]

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为自然数的一递归子集, 若对所有 满足 均有 , 则 .