歐基里德幾何/命题1.1

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以给定线段为一边可作等边三角形

设 AB 为给定线段,要求作等边三角形 ABC

命题1.1图

以 A 为圆心,AB 为半径作圆 BCD;并以 B 为圆心,BA 为半径作圆 ACE,两圆交于 C (公设 3)

连接 CA、CB

因为 A 是 BCD 的圆心,所以 AC 等于 AB (定义 15)

同时 B 也是 ACE 的圆心,所以 BC 等于 BA (定义 15)

已经证明了 AC 等于 AB,所以 AC 等于 BC (公理 1)

所以三条线段 AB、BC、CA 全部相等

所以 ABC 是以 AB 为一边所作得的等边三角形

作毕.