航空动力装置控制规律与特性/第一章

第一章 航空动力装置及其部件中过程的相似和物理模拟

发动机特性计算中，主要的原始数据是其各个部件的特性。各部件的特性指的是其主要指标（有效性参数）与决定所研究部件在发动机系统中工作状态的主要因素的关系。各部件的特性可用计算方法获得，也可通过试验获得。获得部件特性的计算方法，归结于这些部件中热力气体动力过程的数学模拟。这些数字模拟是通过编制适合与每个所研究部件的燃气流运动方程和对其求解来达到的。这些解是近似的，其近似程度取决于所采用的数学模型的水平。

在发动机及其部件的研制、试验调试和调整中，广泛采用过程物理模拟。通过对发动机各个部件模型的试验研究，过程物理模拟可确定其主要的数据和特性。这种模拟是按相似理论的规则实现的。在发动机及其部件的试验过程中，为了在试验台上模仿飞行条件，以及将试验数据换算成标准大气条件，相似理论具有重要的意义。

1.1 气体动力方程

发动机及其部件中过程的数学模拟和物理模拟，均建立在气体运动方程的应用基础上。

—般情况下，发动矶各部件中进行的是粘性可压缩气体的空间(三元)流动。空间中每一个点上的气流参数，是由速度向量c， 压力p，密度ρ，和温度T表示。这些参数受空间的坐标x、y、z和时间T制约。发动机气体动力学的题解，以能求出下列关系式描述的整个流动场为前提：

c=c(x,y,z,t);p=p(x,y,z,t);ρ=ρ(x,y,z,t);T=T(x,y,z,t);    (1-1)

伴有热现象的粘性可压缩气体的运动，可用连续微分方程、运动微分方程和能量微分方程来描述。在用数学方法对各种技术课 题求解与主要相似准则的获取和论证中，这些方程得到广泛的应用。

为推导气体动力微分方程，必领研究具有平行六面体原始形状的无限小的气体粒子运动。

连续方程表示所研究容积的每个界面通过的流量（流进和流出）是平衡的。

连续方程可写成下列向量形式：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho c)=0$     (1-2)

而连续方程标量形式则有：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho c_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho c_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho c_{z})}{\partial z}}=0$     (1-3)

式中 $c_{x}$，$c_{y}$和$c_{z}$——速度向量c在x，y和z轴上的投影。

微分形式的运动方程是根据达朗贝尔原理应用于分出的微元容积，并考虑质量力和表面力对其作用的条件下推导出的。后者又分为压力和摩擦力。

纳弗也-斯托克斯形式的粘性可压缩气体运动方程，可转换成如下向量表达式:

$\rho {\frac {dc}{dt}}=\mathbf {R} -grad\,\mathbf {p} +\mu \Delta c+{\frac {1}{3}}\mu grad(div\,c)$    (1-4)

这个方程的左边是惯性力，右边是作用于微元容积上各力之和。

这里 $\mathbf {R}$——质量力；$grad\,\mathbf {p}$——各压力的合力；$\mu \Delta c+{\frac {1}{3}}\mu grad(div\,c)$——各摩擦力的合力；$\mu$——气体动力粘度；

对不可压缩流体$divc$=0，因此：

$\rho {\frac {dc}{dt}}=\mathbf {R} -grad\,\mathbf {p} +\mu \Delta c$    (1-5)

式中：Δ——拉普拉斯算子。

这个方程在x,y和z轴上的投影是：

$\rho {\frac {\partial c_{x}}{\partial t}}+\rho (c_{x}{\frac {\partial c_{x}}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial c_{x}}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial c_{x}}{\partial z}})=X+{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}c_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{x}}{\partial z^{2}}})$
$\rho {\frac {\partial c_{y}}{\partial t}}+\rho (c_{x}{\frac {\partial c_{y}}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial c_{y}}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial c_{y}}{\partial z}})=Y+{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}c_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{y}}{\partial z^{2}}})$     (1-6)
$\rho {\frac {\partial c_{z}}{\partial t}}+\rho (c_{x}{\frac {\partial c_{z}}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial c_{z}}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial c_{z}}{\partial z}})=Z+{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}c_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{z}}{\partial z^{2}}})$

引力$g(X=g_{x}\rho ;Y=g_{y}\rho ;Z=g_{z}\rho )$或阿基米德力不作为质量力。

能量微分方程是从能量守恒定律应用于气体微元容积的结果中得出的。如果认为气体的物理性质是不变的，那么在没有内部 热源的情况下，对不可压缩的流体

$\rho c_{p}{\frac {dT}{dt}}=\lambda \Delta T+\mu \Phi$    (1-7)

式中：λ——导热系数；$c_{p}$——气体等压比热；Φ——考虑产生于摩擦中的热量的耗散函数。

取$\Phi \approx 0$，并引入称之为导温系数的$a={\frac {\lambda }{c_{p}\rho }}$后，则得

${\frac {dT}{dt}}=a\Delta T$    (1-8)

展开导数和拉普拉斯算子，得：

${\frac {\partial T}{\partial t}}+c_{x}{\frac {\partial T}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial T}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial T}{\partial z}}=a({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}})$    (1-9)

气体动力学的任务，概括起来就是寻找在被研究空间的所有点上任意瞬间t的气体的速度分量值$c=c(c_{x};c_{y};c_{z})$和气体参数值P，ρ和T。这样就有六个属于求解的量。如果对已写出的五个方程再补加气体的状态方程，就可得到相对六个未知数的六个方程的闭合组。

但是，得到的方程组所描述的是无限多的该类现象。为了求解具体问题，必须从这类现象中分出有关部分。为此，必须提出边界条件，又称之为单值性条件。这些条件给出所研究过程的全部独有特征的描述，包括：

1. 表征进行过程的物体或系统形状和尺寸的几何条件。
2. 确定初始瞬间气流状态的时间(初始的)条件。
3. 确定系统边界上气流状态的边界条件。
4. 确定液体的种类，其物理参数和这些参数与温度关系的物理条件。

在最后的条件中，根据课题的性质应作一系列简化。流动可认为是稳定的，而气体可认为是理想的。这样，运动方程的写法就可大大简化。在许多课题的研究中，流动可以看成是二元(叶栅)或一元(通道中的流动)的。在许多情况下，还可以忽略热交换。在这样的简化条件下，气体动力学的—些课题可在利用数值方法的基础上求解，或者通过组成气流平均参数非线性代数方程组的方法求解。

计算发动机某一部件进口和出口(1-1和2-2截面之间)气流平均参数的代数方程组，正如航空发动机原理^[1]中大家都熟悉的，是四个方程：

连续方程：

$G=\rho _{1}c_{1}F_{1}=\rho _{2}c_{2}F_{2}$    (1-10)

能量守恒方程：

$i_{1}+{\frac {c_{1}^{2}}{2}}+L$внеш$+Q$внеш$=i_{2}+{\frac {c_{2}^{2}}{2}}$    (1.11)