邏輯通路/餘弦定理

「畢氏定理」描述的是有關「直角三角形」三邊長的特殊關係，但一般的三角形的三邊長與三內角之間也有一個重要的性質，那就是「餘弦定理」。

假設三角形中， 某兩邊的邊長為 a 、 b，夾角為 $\theta$，第三邊的邊長為 c 則 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$

我想，在正式證明這個定理前，先講幾個如何計算的例子，應該會對理解這個定理有所幫助。

範例

銳角的情況

如果有兩邊長分別為 2、3，夾角為 60°，那麼我們要怎麼計算第三邊呢？

設第三邊長度為$c$，依餘弦定理，將$a=2,b=3$以及$\theta =60$°代入

$c^2=2^2+3^2-2\times 2\times 3\cos 60^{\circ }$
$c^2=13-2\times 2\times 3\times \frac{1}{2}$
$c^2=13-2\times 3$
$c^2=7$
$c=\sqrt{7}$
第三邊長度為$\sqrt{7}$。

參考資料

• 維基百科的「餘弦定理」