高中数学/不等式与数列/一阶递推数列及通项公式的求解

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

阅读指南[编辑]

本节介绍从一种叫做一阶递推关系式的简易递推关系求解出数列通项的方法。此类数列递推式的求解过程和转换方法除了应付学校考试,对于以后学习差分方程数学建模组合数学等课程也有帮助。

无应试需要的读者可以适当跳过本节内容。

基础知识[编辑]

一阶递推关系式的概念[编辑]

形如的表达式叫做一阶递推关系式recurrence relation of first order)。一阶递推关系式是将用含的解析式表达出来。

形如的表达式叫做k阶递推关系式recurrence relation of order k)。一阶递推关系式是将用含解析式表达出来。

形如的表达式叫做分式型一阶线性递推数列。

以递推关系表达的数列等式,也叫做差分方程difference equation)。对于数列,记为它的前向差分forward difference),简称差分difference),叫做数列的差分算子difference operator);记为它的后向差分backward difference),叫做数列的后向差分算子backward difference operator)。

对于涉及递推关系的问题,最常见的问题类型为已知数列中个别项的值(一般是最前几项),求数列特定项的值或数列的通项公式。这2类问题是本节的关注重点。还有一些问题涉及到估计通项或前n项和的大小。对于估计大小的问题会在后续的放缩法章节再集中讨论。

周期数列型问题[编辑]

有的数列只需要通过简单地迭代计算,就可以发现其存在周期性,可以通过其前几项的值和周期大小,确定后续项的值。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 若在数列中,有,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知数列满足,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知数列中,有,求的值。

累加法与累乘法[编辑]

累加法或累乘法可以看作直接递推法的另一种表达形式。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知在数列中,有,求的通项公式。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知在数列中,有,求的通项公式。

Crystal Clear action info 提示:这道题也可以使用本节介绍的等比数列转换法解答。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知在数列中,有,求的通项公式。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知在数列中,有,求的通项公式。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 已知数列的首项,且满足,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 已知数列满足
(1)求数列的前3项
(2)若数列为等差数列,求实数p的值。
(3)求的通项公式和前n项和。

Crystal Clear action edit 相关例题7: 在数列中,有,求的通项公式。

Crystal Clear action edit 相关例题8: 已知整数数列满足,求的值。

等比数列转换法[编辑]

我们可以换一种思路解决上面出现过的已知,求的通项公式的例题。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知数列满足,求的通项公式的例题。

这种方法并不限于解决这种形式的问题,不过它要求解题者对可能存在的等比数列构造形式具有一定的观察力,有时需要结合经验多次尝试。兔子数列也可以采用这种方法巧妙求解。

取对数法[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知在数列中,有,求的通项公式。

Crystal Clear action info 提示:由于对数运算可以将乘积关系转换为加减关系、将指数化为倍数,取对数法也可以将递推式转换为形式,从而将可以累加的递推式变为可以累乘的递推式。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知在数列中,有,求的通项公式。

取倒数法[编辑]

对于都分别出现在2个分式的分母中的某些一阶递推数列,常见的方法是对等式两侧减去合适的数,然后同时取倒数后再构造等比数列。这种方法只能解决分母的形式是的一次函数的情形,这种数列也叫做一阶分式线性递推数列

Crystal Clear action edit 相关例题: 已知数列满足,求的通项公式。

要减去的数具体取什么值才合适有时比较难确定。这时如果考虑使用不动点法可能会比使用待定系数法更快地确定出这个数。

同除以某个代数式[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知在数列中,有,求的值。

Crystal Clear action info 提示:这个题目也可以用累加法求解。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知数列满足,求的通项公式。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知数列满足,求数列的通项公式。

利用通项与前n项和的转换[编辑]

有一类常见的递推式,同时混杂有数列的通项和前n项和的表达式,这时应该优先考虑先将其利用关系式转换为只包含通项的形式或只包含前n项的形式。

Crystal Clear app error 注意:由时,时的情形和时的情形必须分开讨论。即当时,才有;而当时,是直接可知

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知数列的前n项和为,求的通项公式。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知数列的前n项和为,且,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 若为数列的前n项和,且,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 已知数列的前n项和为,且有,求的最大值。

Crystal Clear action edit 相关例题5: 已知数列的首项,其前n项和为,且满足。若对于任意的,还有恒成立,求k的取值范围。

Crystal Clear action edit 相关例题6: 设数列的前n项和为,数列的前n项和为。假设有成立。
(1) 求的值。
(2) 求数列的通项公式。

其它求解方法概述[编辑]

  • 需要观察出递推关系的问题

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知数列满足,求的值。

  • 三角换元法

Crystal Clear action edit 相关例题2: 在数列中,有,求的值。

解答:
,则。那么:


。即

答案:3。

  • 双曲换元法
  • 某些可求通项解的二次一阶递推数列

此外,对于一些所谓的线性的递推关系式或可以转换为此类情形的关系式,还可以考虑特征方程法和矩阵法。了解这些方法还需要补充一些其它的预备知识,而且它们超出了一般学校的考试范围,我们留在专门的对应章节中再论述它们。

补充习题[编辑]

Crystal Clear app ksirtet Crystal Clear app laptop battery

  • 已知在数列中,有,求的通项公式。
  • 已知在数列中,有,求的通项公式。
  • 已知数列的前n项和为,且满足。(1)求证是等差数列。(2)求的通项公式。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

外部链接[编辑]

Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目: