高中数学/必修四/第一章：三角函数

第一节：任意角与弧度制

1.1 任意角

了解任意角

我们在小学和初中时已经接触过角的概念，但是仅限于一周角（360°）的范围内。但是细心观察就会发现很多情况下角并不是仅仅旋转一周。例如跳水运动员跳水时的转体多少度的情况，很多都不是仅仅一周（例如转体720°）。这时，我们就引进了任意角的概念。

角可以看成平面内一条射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形。

但是，角旋转的方向并不是一样的。为了区别旋转不同方向的角，我们引入了正负角的概念。在原来角的概念里，向逆时针旋转的角叫做正角，顺时针旋转的角叫做负角。若一个角没做任何旋转（就是旋转了0°），则称该角为零角。

如图1-1-1所示，为了更方便的表示角，我们把角放入平面直角坐标系中表示。若该角由射线AC旋转到AB，那么AC叫做该角的始边，AB叫做该角的终边。

所有与角α终边相同的角，连同角α，可以表示成集合 $A=\left\{\beta |\beta =\alpha +360^{\circ }K,K\in N\right\}$

在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的终边落在第几象限，那么就称这个角为第几象限角。如果这个角的终边落在坐标轴上，那么就称这个角叫轴线角。例如图中的角就是第一象限角。


相关知识点
终边落在x轴非负半轴的角的集合	$\left\{\alpha \|\alpha =360^{\circ }k,k\in N\right\}$
终边落在y轴非负半轴的角的集合	$\left\{\alpha \|\alpha =90^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
终边落在x轴非正半轴的角的集合	$\left\{\alpha \|\alpha =180^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
终边落在y轴非正半轴的角的集合	$\left\{\alpha \|\alpha =270^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第一象限角的集合	$\left\{\alpha \|360^{\circ }k<\alpha <90^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第二象限角的集合	$\left\{\alpha \|90^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <180^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第三象限角的集合	$\left\{\alpha \|180^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <270^{\circ }+360^{\circ }k,k\in N\right\}$
第四象限角的集合	$\left\{270^{\circ }+360^{\circ }k<\alpha <360^{\circ }k,k\in N\right\}$

练习题

（口答题）锐角是第几象限角？第一象限角就一定是锐角吗？再分别就直角和钝角来回答这两个问题。
（口答题）今天是星期三，那么7k（k=Z）天后的这一天是星期几？7k（k=Z）天后的前一天是星期几？100天后的那一天是星期几？
已知角的顶点和直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出是第几象限角：

1）420° 2）-75° 3）855° 4）-510°

1.2 弧度制

认识弧度制

度量长度我们可以用米、寸、英尺、码等单位度量，度量质量也可以用千克、斤、磅等单位。不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量能否用不同的单位制呢？答案是肯定的：能!

我们知道，角的度量可以用度来表示。为了使用方便，数学上还使用另一种度量角的单位制——弧度制。

我们将长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，用符号 $rad$ 表示，读作弧度。

如图1-1-2，圆A的半径为A，弧BC的长度也等于1，∠BAC就是1弧度的角。

一般的，正角的弧度数为一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为零。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度的绝对值为

$|\alpha |={\frac {l}{r}}$

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同。用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，量数也不同。因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°。所以：

$360^{\circ }=2\pi rad$

$180^{\circ }=\pi rad$

$1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}rad$

反过来有： $1rad=\left({\frac {180}{\pi }}\right)\approx 57.30$

一般的，我们只需根据下图的关系表就可以进行角度弧度的转换了。

用计算器转换角度与弧度

例题：用计算器将67°30′转换成弧度

按键次序如图1-1-4

所以，67°30′≈1.178 rad

注意：不同计算器按键次序可能不同，请参照你所使用的计算器来进行使用


特殊角度数与弧度数对应表
角度制	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度制	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$

第二节：三角函数的图像与性质

2.1 任意角的三角函数

如图1-2-1，设∠BAC顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在第一象限，在角的终边取一点B（a，b），它与原点的距离r= ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}>0$ ，过B做x轴的垂线，垂足为C，则AC长度为a，BC长度为b。

根据初中学过的三角函数定义，我们有：

sin∠BAC= ${\frac {BC}{AB}}={\frac {b}{r}}$ cos∠BAC= ${\frac {AC}{AB}}={\frac {a}{r}}$ tan∠BAC= ${\frac {BC}{AC}}={\frac {b}{a}}$

由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会随B在角终边的位置的改变而改变，因此我们可以将B的位置取在使线段AB的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示的锐角三角函数，如图1-2-2所示。

$\sin \alpha ={\frac {BC}{AB}}=b$

$\cos \alpha ={\frac {AC}{AB}}=a$

$\tan \alpha ={\frac {BC}{AC}}={\frac {b}{a}}$

在引进弧度制时我们可以看到，在半径为单位长的圆中，角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长（符号由角α的终边的旋转方向决定）。在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（Unit circle）。这样，上述B点就是α的终边与单位圆的交点。锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标表示。

同样的，我们可以利用单位圆上的定义定义任意角的三角函数。