理论力学/哈密顿原理

经典力学的基本原理可以用哈密顿原理来表述。根据该原理，如果一个物理系统在t₁时刻具有某种确定的分布，并在t₂时刻演化到另一种分布，则系统真实的演化过程应当使如下的积分在所有可能的演化过程中取“平稳值”：

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$

这个积分被称为作用量。下面以一个有限自由度的体系为例，利用哈密顿原理推导它的运动方程。设这个系统的自由度数为N，q₁...q_N是刻画它的一组广义坐标。这个系统的拉氏量依赖于这N个广义坐标，它们随时间的变化率（即广义速度）和时间。“系统真实的运动轨迹使得作用量取平稳值”等价于系统真实的运动轨迹满足如下的变分方程：

$\delta S=\Sigma _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\delta {\dot {q_{i}}})=0$

利用分部积分法，可以将上述方程转化为：

$\Sigma _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}))\delta q_{i}dt+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\delta q_{i}|_{t_{1}}^{t_{2}}=0$

由于在初始时刻和末了时刻体系的状态是确定的，$\delta q_{i}(t_{1})=\delta q_{i}(t_{2})=0$，上式中第二项消失。再由不同广义坐标之间的独立性，可以推出对任意i，都有：

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}})=0$

这组方程被称为欧拉-拉格朗日方程，它们都是关于广义坐标的二阶常微分方程。在已知广义坐标和广义速度初始值的情形下，系统的运动轨迹由这组方程的解给出。

在上一节中，我们引进了拉氏量，但是我们并没有断言拉氏量的唯一性。事实上，对任何一个系统来说，拉氏量都不能唯一确定。也就是说，不同的拉氏量可能给出相同的演化方程。在经典力学中，只有演化方程才具有实际的物理意义，拉氏量的这种不唯一性也意味着拉氏量的具体数值不具有物理意义。

一个简单的例子是，如果L是系统的拉氏量，则系统的演化令L满足哈密顿原理。令$L'=aL+b$，a和b是任意两个不为零的常数，则L'对应的作用量S'和L对应的作用量S具有如下关系：$S'=aS+b$。由$\delta S=0$可以推得$\delta S'=0$，因而系统的演化也令L'满足哈密顿原理，即L'也是系统的拉氏量。对于一个有限自由度的体系，我们还可以证明，在拉氏量上加上任意一个关于广义坐标和时间的函数f对时间的全导数，得到的新函数仍然是拉氏量。事实上，在拉氏量上加上这个全导数以后，作用量变为：

$S'=S+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {df}{dt}}dt=S+f|_{t_{1}}^{t2}$

在初始时刻和末了时刻，系统的广义坐标是确定的，因而上式中额外的项是不依赖于路径的常数，加上这些项不影响变分以后得到的运动方程。这就证明了新函数仍然是体系的拉氏量。

以上针对有限自由度体系运动方程的推导也可以自然地推广到场系统上。在实际运用中，我们通常只关心具有局域性的场系统。这类场系统的拉氏量具有如下的特殊形式：

$L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{x}\phi ,...,\partial _{x}^{k}\phi ,\partial _{t}\phi ,....,\partial _{t}\partial _{x}^{k}\phi ,x,t)$

而作用量为：

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=\int {\mathcal {L}}dtd^{3}x$

其中${\mathcal {L}}$被称为拉格朗日密度，简称拉氏密度，它是某点处场势、场势对空间坐标的导数（这里假设其依赖直到第k阶的导数）及它们对时间的一阶导数，和时间、空间的函数。拉氏量的这种特殊形式意味着空间中不同点对应的场势，也就是不同的动力学变量之间没有直接的相互作用。利用哈密顿原理，变分此作用量便可得到场的运动方程。场的局域性导致得到的运动方程中，某个点场势随时间的变化率只会依赖这个点的场势及其导数。为简单起见，考虑一个拉氏密度只依赖场势及其对时、空坐标一阶导数的场系统：

$S=\int {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{x_{i}}\phi ,\partial _{t}\phi ,x_{i},t)d^{3}xdt,i=1,2,3$

$\delta S=0$给出：

$\int ({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\Sigma _{i}\partial _{x_{i}}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x_{i}}\phi )}})-\partial _{t}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\phi )}}))\delta \phi d^{3}xdt+\oint _{S}(\Sigma _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x_{i}}\phi )}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\phi )}})\delta \phi dA=0$

上式中第二项是在三维空间和一维时间张成的四维空间中，一个以时间轴为轴线，半径趋近于无穷的“圆柱”表面的面积分。在圆柱的两个底面上，场系统的位形是固定的，因而有$\delta \phi =0$，面积分为0；在圆柱的侧面上，由于无穷远处场势趋于零，面积分同样为零。因此，上式中第二项消失，我们得到了场的运动方程：

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\Sigma _{i}\partial _{x_{i}}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x_{i}}\phi )}})-\partial _{t}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\phi )}})=0$

类似地，我们也可以证明，在拉氏密度上加上某个场势和时空坐标的函数的四维散度，场的运动方程不改变。

注释

维基百科中的相关条目：

哈密顿原理