线性代数/线性空间

基本定义

简单来说，线性空间是一群有加法，可以伸缩（也就系数积）的实体，最明显的例子就是实数或物理上的向量如力、电场等等。

线性空间的严谨定义分成定义"向量加法"、"标量"和"系数积"三大部分。

群

物理上的向量加法与实数的加法有一些共通的特性：

封闭性：两个向量或是实数相加以后，仍然是向量或是实数。
结合律：a+(b+c) = (a+b)+c
单位元素：零向量加上任何向量a为a；同样地实数0加上任何实数r为r。
反元素：对任何向量a总会有一个向量-a使a+(-a)为零向量；类似的有(-r)+r=0。

满足上面性质的还有针对特定轴的旋转、不含0的实数乘法等等的，这诱使我们去定义一个抽象的数学结构，也就是群（group）

$G$ 是一个集合，且 $f : G^{2} \to G$ 是一个双变数函数（也就是封闭性，这里把 $f (a, b)$ 简记为 $a \circ b$ ）满足：

$(\forall a \in G) (\forall b \in G) (\forall c \in G) [a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c]$ （结合律）
$(\exists e \in G) (\forall a \in G) (a \circ e = e \circ a = a)$ （单位元素）
$(\forall a \in G) (\exists a^{'} \in G) (a \circ a^{'} = a^{'} \circ a = e)$ （反元素）

则称

(G, f)

或是

(G, \circ)

为群。

这里不以加号简记 $f (a, b)$ 的原因是因为群的观念很一般，以至于下一小节的"标量"定义也会用到，所以为了避免混淆，我们就以特殊符号简记。

如果定义加上

$(\forall a \in G) (\forall b \in G) [a \circ b = b \circ a]$ （交换律）

的话，我们称 $(G, +)$ 为交换群（commutative group）或阿贝尔群（Abelian group）。

这样我们就替"向量加法"(也就是双变数函数 $f$ )构造出了严谨的数学定义。

体

接下来我们要考虑"标量"，一般标量都是实数，而其中

实数跟加法构成交换群
非零实数跟乘法也是交换群
分配律：对任意实数a, b, c有 a(b+c) = ab + ac

这诱使我们定义另一个数学结构，体(field)

$F$ 是一个集合，且有两个双变数函数

$f : F^{2} \to F$ （ $f (a, b)$ 简记成 $a + b$ ）
$g : F^{2} \to F$ （ $g (a, b)$ 简记成 $a \times b$ ）

满足

$(F, +)$ 为交换群。（其中单位元素记为 $0_{F}$ ）
$(F - {0_{F}}, \times)$ 为交换群。（其中单位元素记为 $1_{F}$ ）
$(\forall a \in F) (\forall b \in F) (\forall c \in F) [a \times (b + c) = a \times b + a \times c]$ （分配律）

则称

(F, +, \times)

为体。

事实上复数系与复数加法和乘法也是一个体，所以"复数"也可以当作"标量"。

线性空间

接下来我们可以把"向量"跟"标量"组装起来，合成一个新的数学结构，称为线性空间(linear space)。但在此之前，我们还要定义"向量的伸缩"（系数积），首先我们注意到

对任何的物理向量v有 1v = 1。（系数积的"单位元"）
对于标量a, b和物理上的向量v有 (a+b)v = (av + bv)。 (系数积的"标量加法分配律")
对于标量a, b和物理上的向量v有 a(bv) = (a x b)v。 (系数积的"标量乘法结合律")
对于标量a和物理上的向量v, w有 a(v+w) = av + aw (系数积的"向量加法分配律")

这样我们就可以给出严谨的定义了

$(V, \oplus)$ 是交换群 ， $(F, +, \times)$ 是体，且有双元函数

$h : F \times V \to V$ （ $h (a, v)$ 简记成 $a \cdot v$ ）

满足

$(\forall v \in V) (1_{F} \cdot v = v)$ （系数积的"单位元"）
$(\forall a \in F) (\forall b \in F) [(a + b) \cdot v = (a \cdot v) \oplus (b \cdot v)]$ (系数积的"标量加法分配律")
$(\forall a \in F) (\forall b \in F) [a \cdot (b \cdot v) = (a \times b) \cdot v]$ (系数积的"标量乘法结合律")
$(\forall a \in F) (\forall v \in V) (\forall w \in V) [a \cdot (v \oplus w) = (a \cdot v) \oplus (a \cdot w)]$ (系数积的"向量加法分配律")

则称

(V, \oplus, h)

（或

(V, \oplus, \cdot)

）为定义在体

(F, +, \times)

上的线性空间。

如果不会与标量加法引起混淆的话，可以把 $\oplus$ （"向量加法"）简记为 $+$ ；运算符号的都固定的状况下，上面可以简称为" $V$ 是定义在体 $F$ 上的线性空间"。

另外 $(V, \oplus)$ 的单位元我们会写成 $0_{V}$ ，称为零向量(zero vector)。

维度

上一节我们把线性空间定义成某种"可加可系数积"的群体，就像平面上的向量一样。那这些"线性量"能不能如同平面向量一样

\vec{v} = v_{x} \cdot \hat{i} + v_{y} \cdot \hat{j}

写成数个"基底向量"的线性组合呢?

这取决于我们要用几个"基底"去线性组合出整个向量空间，如果是指头可以数完的(有限个)的基底，一般来说是不可行的。

如果我们把基底个数拓展到跟自然数一样多(可数个)，那线性组合会变成所谓的"向量"无穷级数。尽管如此，也无法100%保证有这样的一组"基底"可以收敛于任意"向量" 。(但所有多项式函数构成的线性空间的确是这样的可数基底)

但很幸运的，如果你承认最一般版本的选择公理，我们会有种特殊的不可数基底，可以从中挑出可数个来做线性组合而收敛于任意的"向量"。

综上所述，我们要把存在有限个数的基底当作特例，而线性代数大多讨论的就是这种美好状况。而存在可数基底，或甚至连基底都没有的部分就是泛函分析(functional analysis)处理的状况。

线性独立

如果有限个向量 ${e_{1}, \dots, e_{n}} \subseteq V$ 可以线性组合出(定义在体 $F$ 上的)线性空间 $V$ 的任意向量，那这样的表达式唯不唯一呢?若对 $v \in V$ 有

v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i} \cdot e_{i} = \sum_{i = 1}^{n} {v_{i}}^{'} \cdot e_{i}

那这样会有

\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - {v_{i}}^{'}) \cdot e_{i} = 0_{V}

那这样表达式唯一等价于对所有的 $1 \leq i \leq n$ 有 $v_{i} = v_{i}$ ，或是说对所有 ${c_{1}, \dots, c_{n}} \subseteq F$ 有

(\sum_{i = 1}^{n} c_{i} \cdot e_{i} = 0_{V}) \Rightarrow ({c_{1}, \dots, c_{n}} = {0_{F}})

所以我们有下面这样"换句话说"的定义

线性空间 $V$ 定义在体 $F$ 上，若对 $E = {e_{1}, \dots, e_{n}} \subseteq V$ 有

(\forall C \subseteq F) {[(C = {c_{1}, \dots, c_{n}}) \land (\sum_{i = 1}^{n} c_{i} \cdot e_{i} = 0_{V})] \Rightarrow (C = {0_{F}})}

我们称

E

为线性独立的(linear independently)，反之称为线性相依的(linear dependently)。

也就是说，数学家喜欢如此地叙述我们上面的那小段结果：“"基底"对任意向量有唯一的表达式，等价于"基底"是线性独立的”。