信号与系统/周期信号的功率分析

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周期信号的功率分析

周期 $T_{0}$ 的周期信号其平均功率计算式：

    $P = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} ∣ x (t) ∣^{2} d t$

若将此周期信号表示成指数傅里叶级数，上述平均功率计算式可改写成：

$P = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} x (t) x^{*} (t) d t = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} x (t) [\sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} e^{j n ω_{0} t}]^{*} d t$

$= \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} x (t) \sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n}^{*} e^{- j n ω_{0} t} d t = \sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n}^{*} \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} x (t) e^{- j n ω_{0} t} d t$

$= \sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n}^{*} X_{n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} ∣ X_{n} ∣^{2}$

周期信号的功率分析(续)

改用三角傅里叶级数第二式表示：

$x (t) = C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \cos (n ω_{0} t + θ_{n})$

 $x (t)$ 的平均功率：

$P = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} ∣ x (t) ∣^{2} d t$

$= \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} ∣ C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) ∣^{2} d t$

$= \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} [C_{0}^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n}^{2} \cos^{2} (n ω_{0} t + θ_{n}) + 2 C_{0} \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) + \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} C_{n} C_{m} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) \cos (m ω_{0} t + θ_{m})] d t$

$\frac{1}{T_{0}} {\begin{matrix} \begin{matrix} \underset{⏟}{C_{0}^{2} \int_{T_{0}}^{0} d t} \\ T_{0} \end{matrix} \end{matrix} + \begin{matrix} \underset{⏟}{\sum_{n = 1}^{\infty} C_{n}^{2} \int_{T_{0}}^{} \cos^{2} (n ω_{0} t + θ_{n}) d t} \\ T_{0} / 2 \end{matrix} + \begin{matrix} \underset{⏟}{2 C_{0} \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} \int_{T_{0}}^{} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) d t} \\ 0 \end{matrix}$

$+ \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} C_{n} C_{m} \begin{matrix} \underset{⏟}{\int_{T_{0}}^{} \cos (n ω_{0} t + θ_{n}) \cos (m ω_{0} t + θ_{m}) d t} \\ 0 \end{matrix} = C_{0}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n}^{2}$

周期信号的功率分析(续)

根据三角傅里叶级数及第二式的关系：

    $c_{0} = a_{0}$

   $c_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}$

  故 $P = a_{0}^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_{n}^{2}}{2} + \frac{b_{n}^{2}}{2})$

Parseval定理

傅里叶级数的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式

     (Parseval identity) ：
     一週期訊號 $x (t)$  可表示成三角傅立葉級數或指數傅立葉級數：

     $x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} X_{n} e^{j n ω_{0} t}$

    $c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} \cos (n ω_{0} t + θ_{n})$

    $a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n ω_{0} t + b_{n} \sin n ω_{0} t)$

此周期信号 $x (t)$ 的平均功率可用傅里叶级数的系数表示如下：

$P = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} ∣ x (t) ∣^{2} d t = \sum_{n = - \infty}^{\infty} ∣ X_{n} ∣^{2} = c_{0}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}^{2} = a_{0}^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_{n}^{2}}{2} + \frac{b_{n}^{2}}{2})$

周期信号的功率分析-Parseval定理

Parseval定理：

　　说明周期信号的平均功率可在时域上计算，也可以使用累加式。
　　此累加式可看成在频域上计算平均功率，周期信号表示成复指数傅里叶级数时，信号频谱离散分布，每一项之平均功率等于该项系数大小(代表该项信号幅度或强度)的平方，加总后得到信号的平均功率。
　　同样地周期信号表示成三角傅里叶级数时，信号频谱离散分布，直流项之平均功率等于该项系数大小的平方，弦波项之平均功率等于该项系数大小平方的1/2。有些情况在时域上计算平均功率比较容易，有些情况则相反。

范例4.17

试求周期信号 $x (t) = 2 \cos (2 ω_{0} t + 3 0^{o}) - 4 \cos (3 ω_{0} t + 12 0^{o})$ 的平均功率。

$x (t)$ 的基本周期 $T_{0} = \frac{2 π}{ω_{0}}$

【解】(1)时域上计算：

$P = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} ∣ x (t) ∣^{2} d t$

$= \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} [4 \cos^{2} (2 ω_{0} t + 3 0^{o}) + 16 \cos^{2} (3 ω_{0} t + 12 0^{o}) - 16 \cos (2 ω_{0} t + 3 0^{o}) \cos (3 ω_{0} t + 12 0^{o})] d t$

$= \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} [2 + 2 \cos (4 ω_{0} t + 6 0^{o}) + 8 + 8 \cos (6 ω_{0} t + 24 0^{o}) - 8 \cos (5 ω_{0} t + 15 0^{o}) - 8 \cos (ω_{0} t + 9 0^{o}) d t$

$= \frac{1}{T_{0}} {\begin{matrix} 2 \begin{matrix} \underset{⏟}{\int_{T_{0}}^{} d t} \\ T_{0} \end{matrix} \end{matrix} + 2 \begin{matrix} \underset{⏟}{\int_{T_{0}}^{} \cos (4 ω_{0} t + 6 0^{o}) d t} \\ 0 \end{matrix} + 8 \begin{matrix} \underset{⏟}{\int_{T_{0}}^{} d t} \\ T_{0} \end{matrix} + 8 \begin{matrix} \underset{⏟}{\int_{T_{0}}^{} \cos (6 ω_{0} t + 24 0^{o}) d t} \\ 0 \end{matrix} - 8 \begin{matrix} \underset{⏟}{\int_{T_{0}}^{} \cos (5 ω_{0} t + 15 0^{o}) d t} \\ 0 \end{matrix}$

$= \frac{1}{T_{0}} {2 T_{0} + 8 T_{0}} = 10$

(2)频域上计算：

   (a) $x (t) = 2 \cos (2 ω_{0} t + 3 0^{o}) - 4 \cos (3 ω_{0} t + 12 0^{o})$

          $= 2 \cos (2 ω_{0} t + 3 0^{o}) + 4 \cos (3 ω_{0} t - 6 0^{o})$

           為三角傅立葉級數第二式。根據Parseval定理：

          $P = \frac{1}{2} (2)^{2} + \frac{1}{2} (4)^{2} = 2 + 8 = 10$ 
          
           ※由上面計算可知， $x (t)$ 的平均功率由兩項相加而得，此兩項分別是
             $2 \cos (2 ω_{0} t + 3 0^{o})$ 的平均功率及 $4 \cos (3 ω_{0} t - 6 0^{o})$ 的平均功率，故可用下
 
          圖表示：

      .............................圖
                            
                            上圖稱為 $x (t)$  的單邊功率頻譜(power spectrum) 。

(b)运用尤拉公式， $x (t)$ 可表示成指数傅里叶级数。

$x (t) = 2 \cos (2 ω_{0} t + 3 0^{o}) - 4 \cos (3 ω_{0} t + 12 0^{o})$

$= 2 \frac{e^{j (2 ω_{0} t + 3 0^{o})} + e^{- j (2 ω_{0} t + 3 0^{o})}}{2} - 4 \frac{e^{j (3 ω_{0} t + 12 0^{o})} + e^{- j (3 ω_{0} t + 12 0^{o})}}{2}$

$= e^{j 3 0^{o}} e^{j 2 ω_{0} t} + e^{- j 3 0^{o}} e^{- j 2 ω_{0} t} - 2 e^{j 12 0^{o}} e^{j 3 ω_{0} t} - 2 e^{- j 12 0^{o}} e^{- j 3 ω_{0} t}$

$= 2 e^{j 6 0^{o}} e^{- j 3 ω_{0} t} + e^{- j 3 0^{o}} e^{- j 2 ω_{0} t} + e^{j 3 0^{o}} e^{j 2 ω_{0} t} + 2 e^{- j 6 0^{o}} e^{j 3 ω_{0} t}$

根据Parseval定理， $x (t)$ 的平均功率为

$P = ∣ 2 e^{j 6 0^{o}} ∣^{2} + ∣ e^{- j 3 0^{o}} ∣^{2} + ∣ e^{j 3 0^{o}} ∣^{2} + ∣ 2 e^{- j 6 0^{o}} ∣^{2}$

$= 4 + 1 + 1 + 4 = 10$

范例4.18

我们可绘出 $x (t)$ 之双边功率频谱如下：

................图