信号与系统/非周期信号与傅里叶级数

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原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
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原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
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原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

非周期信号与傅里叶级数

无论是三角傅里叶级数或指数傅里叶级数，级数和所代表的信号均为ㄧ周期信号。

对于一个非周期信号基本上是无法用傅里叶级数表示。

但是，如果只考虑某ㄧ时间范围，则可用傅里叶级数来表示。

范例4.20

试用傅里叶级数来表示非周期信号 $x(t)=e^{-t/2}$ 。仅考虑时间范围 $0<t<\pi$

...........图 ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

【解】因为仅考虑时间范围 $0<t<\pi$ ，故 $T_{0}=\pi$ 令 $\Rightarrow \omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}=2$

三角傅里叶级数

$\Phi (t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos 2nt+b_{n}\sin 2nt)$

$a_{0}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\,dt={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{-t/2}\,dt=0.504$

$a_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\cos 2nt\,dt={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{-t/2}\cos 2nt\,dt=0.504\left({\frac {2}{1+16n^{2}}}\right)$

$b_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\sin 2nt\,dt={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{-t/2}\sin 2nt\,dt=0.504\left({\frac {8n}{1+16n^{2}}}\right)$

$\Phi (t)=0.504[1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+16n^{2}}}(\cos 2nt+4n\sin 2nt)]$

...............图

注意：傅里叶级数 $\phi$ 为ㄧ周期信号而原函数 $x(t)$ 为非周期信号。但 $\phi (t)=x(t)\qquad 0<t<\pi$ 当

参考资料

B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998. G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998. 余兆棠、李志鹏，信号与系统，沧海书局，2007。 Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000. Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998. Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003. Rodger E. Ziemer and William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002. Simon Haykin, Communication Systems, 4th ed., John Wiley & Sons, 2001. John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., Prentice Hall International, 2002.