线性代数/一次联立方程式与增广矩阵

高斯消去法

n 元一次联立方程式

在中学数学的课程中，已充份讨论了二元一次联立方程式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{aligned}}\right.$

并且有探讨唯一解、无解、无限多组解的情况。

例如

$\left\{{\begin{aligned}2x_{1}+x_{2}=1\\3x_{1}-x_{2}=4\end{aligned}}\right.$

有唯一解 $x_{1}=1,x_{2}=-1$。

很直觉的，会想将它推广至 n 元一次联立方程式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{aligned}}\right.$

举例来说，当 n = 3 时，三元一次联立方程式的几何意义是求 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 空间中三个平面的交点，例如方程式

$\left\{{\begin{aligned}3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=1\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=5\end{aligned}}\right.$

的解是 $(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,-1,2)$。

在此要等特别指出的是，一个 n 元一次联立方程式的等式数量并非定性的要求恰好 n 个，但是如果看完后续的内容，会知道 n 个等式的情形拥有最多可探讨的性质，因此目前我们姑且都只研究该情况。

高斯消去法

想要解一般的 n 元一次联立方程式，可以模仿中学时教过的二元一次联立方程式的解法 比较一下代入消去法和加减消去法，会发现加减消去法似乎比较有推广的潜力。

事实上，实际的做法正是大致如此：首先对不同条的方程式进行加加减减以消去一个变数，重复这个步骤直到止剩一个变数，因此可以轻松解出该变数，接著再将解代回原方程式便可以依序把过程中消掉的变数通通解出来。

确切的过程以上一节的一元三次联立方程式为例演示如下

$\left\{{\begin{aligned}3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=1\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=5\end{aligned}}\right.{\overset {(1)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}15x_{1}-x_{3}&=-2\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\-2x_{1}+3x_{3}&=6\end{aligned}}\right.{\overset {(2)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}15x_{1}-x_{3}&=-2\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\43x_{1}&=0\end{aligned}}\right.$

上述操作的思路如下，首先第一步要找一个比较好消的变数来消掉，由于 $x_{1}$ 的系数比较大，消完容易产生分数，于是决定于首步骤 (1) 中消去 $x_{2}$：将第一式加上 3 倍的第二式，且将第三式减去 1 倍的第二式，即得到中间的联立方程式。此时只看第一式及第三式，会得到一个关于 $x_{1}$, $x_{3}$ 的二元一次联立方程式，于是再对它们做一次加减消去法，即步骤 (2)：将第三式加上 3 倍的第一式，得到最右边的联立方程式。

注意到此时第三式已经给出了一个变数的解 $x_{1}=0$ 接下来要做的是将已知变数的解代回去联立方程式中解出未知的变数。

$\left\{{\begin{aligned}15x_{1}-x_{3}&=-2\\4x_{1}-x_{2}-x_{3}&=-1\\43x_{1}&=0\end{aligned}}\right.{\overset {(3)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}-x_{3}&=-2\\-x_{2}-x_{3}&=-1\\x_{1}&=0\end{aligned}}\right.{\overset {(4)}{\Longrightarrow }}\left\{{\begin{aligned}x_{3}&=2\\-x_{2}&=1\\x_{1}&=0\end{aligned}}\right.$

步骤 (3) 的操作是将第三式的 $x_{1}=0$ 代入第一式及第二式中，从而发现第一式已经给出了 $x_{3}=2$，再经由步骤 (4) 代入第二式，而解出最后一个变数 $x_{2}=-1$。

对于一般的 n 元一次联立方程式，都可以用如上述的方法将变数一个接著一个消掉，再一个一个解出来，操作手法便不再赘述。

特殊情况

如同二元一次联立方程式，一般的 n 元一次联立方程式除了有唯一一组解的情形，还有另外两种情况：

• 无解。例如

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}+x_{3}&=1\\2x_{1}-2x_{2}+2x_{3}&=3\\2x_{1}-x_{2}+2x_{3}&=5\end{aligned}}\right.$

因为第二式减去 2 倍的第一式会得到 0=1。

• 无限多组解。例如

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}-x_{2}+x_{3}&=1\\2x_{1}-2x_{2}+2x_{3}&=2\\3x_{1}-3x_{2}+3x_{3}&=3\end{aligned}}\right.$

因为三条式子都是差一个常数倍，其实讲的是同一件事。

关于什么时候会出现上述两种特殊情况，我们留待后面的章节引入更多工具之后再做讨论。

方程组的矩阵表示

前述的算法有个小缺点，当未知数的个数很多的时候，在计算过程中要不断书写符号 $x_{1}$、$x_{2}$…非常繁琐。为了解决这个问题，我们要引入一个新的记号：增广矩阵。

增广矩阵

观察一下，一个一般的 n 元一次联立方程式会长成以下的形式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{aligned}}\right.$

在这里可以看到系数项 $a_{11}$、…、$a_{nn}$ 及常数项 $b_{1}$、…、$b_{n}$ 已经对齐得非常漂亮，因此我们就将这些必要的资讯抽出，写成增广矩阵

$\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&b_{n}\end{array}}\right]$

特别要注意的是，如果第 i 个式子中没有 $x_{j}$ 项，也就是 $a_{ij}=0$，在增广矩阵中仍然要把 0 填在 $a_{ij}$ 的栏位，以免造成误会。

以上一节解三元一次联立方程式为例，整个运算过程会写成

${\begin{aligned}&\left[{\begin{array}{ccc|c}3&3&2&1\\4&-1&-1&-1\\2&-1&2&5\end{array}}\right]{\overset {(1)}{\Longrightarrow }}\left[{\begin{array}{ccc|c}15&0&-1&-2\\4&-1&-1&-1\\-2&0&3&6\end{array}}\right]{\overset {(2)}{\Longrightarrow }}\left[{\begin{array}{ccc|c}15&0&-1&-2\\4&-1&-1&-1\\43&0&0&0\end{array}}\right]\\{\overset {(3)}{\Longrightarrow }}&\left[{\begin{array}{ccc|c}0&0&-1&-2\\0&-1&-1&-1\\1&0&0&0\end{array}}\right]{\overset {(4)}{\Longrightarrow }}\left[{\begin{array}{ccc|c}0&0&1&2\\0&-1&0&1\\1&0&0&0\end{array}}\right]\end{aligned}}$

在这里可以发现，如果原本方程式是第一式加上 3 倍第二式，在增广矩阵表示法中，变成第一列加上 3 倍的第二列。也就是说，原本方程式各式中的运算，全部变成增广矩阵中横列的运算。

有了这种表示法之后，将可以在下一节中仔细的探讨一个一般的 n 元一次联立方程式的所有解，当然也包括无解。