麦克斯韦方程组

马克士威方程组（英语：Maxwell's equations）是由英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪初创立的描述电磁场特性及其关系的方程组。方程组包括一组积分形式、一组微分形式和三个辅助方程（本构关系）。积分和微分两种形式可以借助高斯公式及斯托克斯公式相互转换。两种形式分别包含四个方程。

相关条目：电磁场理论，电磁波理论。

理论基础

麦克斯韦方程组的四个方程分别描述了电磁学的四个重要定理和定律。首先，引入参考量：

• E：电场强度（矢量）

  由电场强度的定义“电场强度为沿电场线方向，单位距离上的电势降落”可知，电场强度的单位为：伏特/米，即：v/m。

  另，“电场强度等于点电荷受到的电场力与其电量之比”可知，电场强度的单位亦可为牛顿/库伦，即N/C。

• B：磁感应强度（矢量）

  磁感应强度也被称为磁通量密度或磁通密度。在磁场中垂直于磁场方向的通电导线,所受到的磁场力F跟电流强度I和导线长度L的乘积IL的比值，定义为通电导线所在处的磁感应强度,用B表示。磁感应强度的单位为：特斯拉，即：T。1T=1N/（A·m）。

• H：磁场强度（矢量）

  磁场强度定义式为H=B/μ0-M，式中B是磁感应强度，M是磁化强度，μ0是真空中的磁导率，μ0=4π×10-7韦伯/（米·安）。H的单位是安培/米，即A/m。

• D：电位移（矢量）

  电位移矢量可以用来解释电介质内自由电荷产生的极化效应。电位移矢量D以方程式定义为:

  ${\overrightarrow {D}}{\overset {def}{=}}{\varepsilon }_{0}{\overrightarrow {E}}+{\overrightarrow {P}}$

  其中， ε₀是真空介电常数，E是电场强度，P是（电）极化强度。国际单位制中，电位移矢量的单位为：库伦/平方米，即：C/m²

• J：电流密度（矢量）

  在电流密度可以理解为“电荷流动的密度”，即通过单位截面的电流。电流密度又可分为体电流密度（国际单位制：安培/平方米，A/M²）、面电流密度（单位：安培/米，A/M）、线电流密度（即我们平时所谓的电流：导线中的电流强度，单位：安培，A）。

• ρ：电荷密度（标量）

  电荷密度又可以分为电荷体密度，电荷线密度，点电荷（可以认为是对应的点电荷密度，但是通常理解下点电荷具有电量但不具有体积，所以点电荷的密度无限大。举例说明：带有电量q的半径为a的小球在半径为r的空间内的电荷分布可以用空间的标量函数delta函数来说明。）

注：磁感应强度B与磁场强度H的区别与联系。简言之，H是外场，B是总场，它们单位不同仅仅是由于来源不同：前者通过电流的磁效应得到，后者通过带电粒子在磁场中的运动定义。B比H更加基本，是由于电流本身就是带电粒子的运动产生，粒子模型比电流模型更加基本。H来源于Ampere定律。Ampere通做电流做实验，发现长直导线外，到导线距离相等的点，“磁场”大小相同；距离不同的点，“磁场”强度随着距离成反比。这里所谓的“磁场”大小是通过小磁针扭转力矩等力学方式得到的。这样，通过力学测量和已有的电流强度的定义，即可定义一个物理量H，满足2*pi*R*H=I。推广后就是Ampere环路定律。此时无需真空磁导率μ0，因为只要知道电流I就能定义H这个物理量。B来源于带电粒子的受力。对于一定速度的粒子，加上H磁场，通过轨道测量以及牛顿力学，你可以测出粒子受的力。你发现受的力和电荷数q以及速度成正比，也和H成正比，但是力F并不直接等于qvH，而是还差一个因子：F=A*q*vⅹH，A只是个待定因子，暂未赋予物理意义。磁导率如何引入。这样，H是电流外加给的磁场，通过粒子受力，直接定义一个粒子感受到的磁场，叫它B，为了使得F= qvⅹB成立。即，外施H场，粒子运动感受到的却是B场，这就可以定义磁导率μ =B/H，“率”即比例的意思。磁导率，就是粒子运动（受力）与外界磁的比例，描述前者随着后者的响应。磁导率大，那么同样大的外加磁场H使得粒子受力的响应（如偏转）也越大；磁导率如果为零（不导磁），那么多大的磁场也不会使得粒子有偏转等力学反应，磁导率如果近乎无限大，你只要加一丁点外磁场H，粒子就已经偏转的不亦乐乎。

高斯定理

$\oint _{S}^{}{{\overrightarrow {F}}d{\overrightarrow {S}}}=\int _{V}^{}{\left(\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}\right)d{\overrightarrow {V}}}$ 高斯定理亦称为散度定理。闭合曲面S包围的体积V，满足此等式所示关系。

另见维基百科上的高斯散度定理。

斯托克斯定理

$\oint _{l}^{}{\overrightarrow {F}}d{\overrightarrow {l}}=\int _{S}^{}{\left(\nabla \times {\overrightarrow {F}}\right)d{\overrightarrow {S}}}$

亦称为旋度定理。闭合曲线I包围的面积S，满足此等式所示关系。

另见维基百科上的斯托克斯定理。

安培环路定律

亦称为安培定律。

另见维基百科上的安培定律。

法拉第电磁感应定律

全称法拉第电磁感应定律。一般不简称为法拉第定律，因为以法拉第命名的定律不止这一个。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组的积分形式

麦克斯韦方程组的积分形式描述了一个大范围内（任意闭合面或闭合曲线所占空间范围内），场与场源（电荷、电流以及时变的电场或磁场）相互之间的关系。按照习惯可依次排列为：

• 1. $\oint _{C}^{}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{S}^{}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+\int _{S}^{}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\cdot d{\vec {S}}$
• 2. $\oint _{C}^{}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-{\frac {d}{dt}}\int _{S}^{}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}$
• 3. $\oint _{S}^{}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=0$
• 4. $\oint _{S}^{}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}=\int _{V}^{}{\rho d}{\vec {V}}$

• 注：
  • 方程1表示全电流定律。磁场强度在场内任意闭合曲线的线积分等于穿过此曲线限定面积的全电流，即穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。方程1中，H表示磁场强度矢量，dl为曲线C上的长度元矢量，J为电流密度矢量，dS为以曲线C为周界的面积元矢量，D为电位移矢量。方程右侧第一项表示传导电流，第二项为极化电流。方程1的物理含义为：沿曲线C的传导电流和位移电流之和是以曲线C为周界的磁场强度为H的磁场的源（或漩涡源，在之后的推导过程中会有说明为什么是漩涡源）。
  • 方程2表示法拉第电磁感应定律。电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以此闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量变化率的负值。方程2中，E表示媒质中感应出的电场强度，B为磁感应强度，dt为时间元。方程2的物理含义为：磁感应强度为场B的磁场在沿曲线C的回路中产生的感应电动势为以曲线C为周界的磁通量的变化率。
  • 方程3表示磁场是无源场。穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量为零，即磁场中任意一点都有完整的“磁感线”“经过”（有进有出，并且进的量等于出的量，即净通过量为零）。方程3暗示了：磁单极子不存在。
  • 方程4表示电荷守恒定律。通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。由此式还可以看出电位移矢量的单位是：库伦/米²（C/m²）。方程4中，D表示电位移矢量，ρ表示体积V内的电荷密度，方程左侧对电位移矢量的面积积分表示闭合曲面S内电位移矢量D的通量（可以认为是通过的量，或者包含的量），方程右侧表示以ρ为电荷体密度分布在体积V内的电荷的总电量。

麦克斯韦方程组的微分形式

• 5. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {J}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {D}}}{\partial t}}$
• 6. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$
• 7. $\nabla \cdot {\overrightarrow {B}}=0$
• 8. $\nabla \cdot {\overrightarrow {D}}=\rho$

• 注：
  • 方程5的左侧表示磁场强度为H的磁场的漩涡源（即旋度），方程5的右侧表示传导电流密度与位移电流密度之和。
  • 方程6表示电场的漩涡源是磁感应强度的变化率。由于感应电动势阻碍磁感应强度发生变化，顾此等式包含一个负号。
  • 方程7表示磁场为无源场。
  • 方程8表示电介质中高斯定理的微分形式，电介质中任意一点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度ρ，即电位移矢量的通量源是自由电荷，电位移线从正的自由电荷出发而终止与负的自由电荷。对两端同时取体积分并应用散度定理即可得到高斯定理的积分形式。

媒质的本构关系（电磁场的辅助方程）

• 9. ${\overrightarrow {D}}=\varepsilon {\overrightarrow {E}}$
• 10. ${\overrightarrow {B}}=\mu {\overrightarrow {H}}$
• 11. ${\overrightarrow {J}}=\sigma {\overrightarrow {E}}$

• 注：
  • ε（epsilon）为介电常数（又称为“电容率”或“绝对电容率”），国际单位制单位为：法拉/米（Farad/meter, F/m）；
  • μ（mu）为磁导率，国际单位制单位为：亨利/米（H/m），或:牛顿/安培²（N/A²）;
  • σ（sigma）为媒质的电导率，国际单位制单位为：西门子/米 （S/m）。此处我们只讨论均匀且各向同性的介质（所谓同构），故电导率为一矢量（另见矢量分析），而非张量（此内容不做要求）。

电磁场的边界条件

边界条件的一般形式

磁场强度H的边界条件

磁场强度H在穿过存在面电流的两媒质分界面时，其切向分量是不连续的。当两种媒质的电导率为有限值时，分界面上不可能存在面电流分布，即H的切向分量是连续的。

电场强度E的边界条件

电场强度E的切向分量在分界面上是连续的。

磁感应强度B的边界条件

磁感应强度B的法向分量在分界面上是连续的。

电位移矢量D的边界条件

电位移矢量D的法向分量在分界面上是不连续的。

两种特殊情况下的边界条件

实际工程中经常用到一些具有良好导电性的材料（良导体）和一些具有良好绝缘性的材料（电介质）。为简化场问题的分析和计算，在时变场中我门通常把良导体视为理想导体（电导率无限大），把电介质视为理想媒质（电导率为零）。

理想导体表面上的边界条件

理想导体内部的磁场强度、电场强度、磁感应强度、电位移矢量均为零。将H、E、B、D分别带入边界条件的一般形式，即可得到理想导体表面上的边界条件。

理想媒质表面上的边界条件

电场矢量（E、D）穿过两介质的分界面时方向发生变化（折射）。

至此，可将电磁场的边界条件的总结如下：

• 在两种介质的分界面上，如果存在面电流，使H的切向分量不连续，其不连续量由边界条件的一般形式确定。若分界面上不存在面电流，则H的切向分量是连续的。
• 在两种媒质的分界面上，E的切向分量是连续的。
• 在两种媒质的分界面上，B的法向分量是连续的。
• 在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使D的法向分量不连续，其不连续量由边界条件的一般形式确定。若分界面上不存在面电荷，则D的法向分量是连续的。