自然科學/運動和運動的描述

位置

在已有參考系的情況下，我們能夠很容易的描述位置。在經典力學中，任何物體都沒有絕對的位置，我們討論的位置都是相對位置。在沒有進一步說明的情況下，我們所說的位置，都是相對於參考系的位置。在經典物理中，我們默認我們已經確定x,y,z軸的正方向以及單位，這樣我們可以用一個三維向量(x,y,z)來描述任何一個物體的位置。

在中學階段，一般研究的物體運動都是在一維或二維空間中進行的，並且我們很少描述相對於參考系的位置，而是將精力更多的集中在物體之間的相對位置。由於一維空間中的相對位置可以直接用二者的距離表示，所以在中學力學中，使用距離的說法多於位置。

標量和矢量

在自然科學中，某些時候一個單純數量就可以量化某個物理量，如體積能夠直觀反映物體占用的空間大小。但是很多時候，單純的數量，不能準確表示一個物理量，需要加入方向輔助。如在描述一個運動物體時，運動的快慢並不能直接代表運動的方式，因為方向同樣重要。

我們引入矢量的概念，來準確地描述一些現象，簡而言之，矢量是既有大小又有方向的量。在表示矢量時，我們藉助向量（包括一維向量）。實際上，我們已經描述的位置就是一個矢量，而通常意義上的「距離」就是一個標量，我們放棄距離這種模糊不清的概念，而使用能夠準確描述位置的位置矢量，就是為了精確描述現象。在一維空間中，位置向量也是一維的，這個時候使用位置加上「前」「後」或「左」「右」這樣的詞綴，相當於給距離加入了方向，也就是我們說的相對位置。

矢量的運算繼承自描述他的向量。（如果你不熟悉向量的運算，請學習和複習相關內容，包括三角形法則和平行四邊形法則）這裡似乎有一些奇怪，因為我們強制用向量來表示所有的矢量，然後又強制讓他們符合同一種運算法則，也就是強制讓所有的矢量遵循同樣的運動規律。這裡我們需要闡述清楚這個問題。我們在緒論中，已經說明形式科學的抽象概念，大都由現實生活中的概念抽象而來，而向量也是如此。向量的運算，也是抽象自矢量，通過對一些矢量的運算觀測，而終結抽象得到向量。但是這樣也並不能保證所有的矢量都遵循向量運算法則，因此，我們還需要對已有的矢量進行重複實驗來檢測——這當然也不能證明。

位移

位移描述的是物體相對於參考系發生的位置變換。用定義語言描述：位移是描述物體位置變化的物理量。

實際上，位置也可以看做物體從參考繫到實際位置的位移。之所以引入「位移」這個概念，是因為我們希望能夠表達出「移動」這個過程，而這個過程是在某一段時間裡發生的。因此，我們所說的位移，可以加入一段時間作為限制，作為某一段時間內的位移。

物體的位移s，可以用一個三維量表示${\textstyle {\boldsymbol {s}}(s_{x},s_{y},s_{z})}$，根據矢量的運算法則，位移s，可以由物體的終止位置${\boldsymbol {L_{1}}}$和初始位置${\boldsymbol {L_{0}}}$計算得出：

$$s=L_{1}-L_{0}$$

請注意位移和通常意義上的路程並不相同，路程，如汽車的行使里程，關注了整個形式過程的走過的距離，而忽略了方向，而位移，則關注的是初態到終態的變化，而忽略中間過程。你也許認為大多數運動都有複雜的中間過程，所以位移並沒有生意義。實際上，我們在考慮一個某段時間內的複雜的運動時，往往會將他分解成更短時間內的一些運動，且這個過程可以繼續進行下去。當我們分解到一定程度時，這一段時間內的位移很小，可以視作一個直線運動，並用$\Delta {\mathit {\boldsymbol {s}}}$來表示這段時間內的位移。其中字母Δ通常用來表示變化量。

為什麼任意微小時間內的運動可以視為直線運動？我們在講解微元的時候會進一步闡釋。

運動

當一個物體，相對於另一個物體，發生了位置變化，我們就說，這兩個物體之間發生了相對運動。為什麼說是相對運動？因為你只能感知物體之間相對的位置變化，我們在自然科學中談論的運動也都是這樣子確定的。

一種做圓周運動的雙星系統

也許你會說，你在車中能夠感受汽車是在開動還是靜置——即使是閉上眼睛。其實你感受的不是位置變化，而是汽車在運動中的加速、剎車、顛簸，這並不是運動變化。在顛簸、加速、減速小得多的火車中，感受這種所謂的」運動「也就要難得多。然後再回想一下坐船的經歷，為什麼船艙中比甲板上更容易暈船？因為你在船艙中，周圍的一切相對於你都幾乎是相對靜止的，但是你卻明明感受到了顛簸，這樣就會讓你的大腦產生不適，從而暈船。

按照定義相對運動的方式，也可以定義相對靜止，那就是，兩個物體之間沒有相對的位置變化。到此為止，我們描述了運動和靜止的相對性，但是絕對地有沒有運動和靜止呢？這個問題現在不太需要回答，我們到這裡還沒有講述足夠的知識來回答這個問題。

當我們在分析一個運動系統時，如果沒有特殊說明，我們說的運動也是參考的默認參考系。這個默認參考系的選擇非常微妙。在考慮地球上的物體的運動過程時，默認參考系非常簡單，選擇地面即可。但是在研究宇宙中的物體時，似乎感覺無法選擇，例如在研究一個做圓周運動的雙星系統時，這個參考系的選擇就非常講究。首先，這個雙星系統中的任何一顆恆星都不能被選為參考系，如果被選為參考系，那麼他就是被默認靜止的，那麼我們看到的只會是另一顆恆星繞它旋轉；其次，這個雙星系統的周圍的恆星、行星也不能被選擇為參考系，他們間的位置關係變換太多。實際上，我們只需要選擇這個雙星系統圓周運動的中心即可，但是，中心沒有任何物體啊？實際上，我們在研究這個問題的時候，應該是選擇了一顆距離它們很遠與他們二者發生的相對位置關係可以忽略不計的物體作為參考系，而將坐標遠點設置在了雙星系統中兩者做圓周運動的中心。

請注意，在這裡，它們二者的運動可能已經不完全是低速了，所以經典物理結論用在這個系統中可能依然適用，但是精確度降低。當用在更加高速的系統中的，精度會下降到難以接受，這個時候就應該用建立和適用更加普適的理論模型了。

速度和速率

速度是描述物體在參考系下位置變化狀態的物理量。速度是一個矢量。經典力學中的速度，同樣只有在參考系下才有意義，類似於位移，我們可以用一個三維向量${\mathit {\boldsymbol {v}}}(v_{x},v_{y},v_{z})$表示一個經典物理中的參考系下的物體的速度。如果我們單看三個分量中的一個，這個分量就表示了兩個信息：物體在這個分量上運動的快慢和物體在這個分量上的運動方向。根據矢量合成的法則，我們可以通過三個分量的速度合成出物體在參考系下的速度，這個矢量具有兩個意義，首先，肯定的是，速度的大小$|{\mathit {\boldsymbol {v}}}|$表示物體運動的快慢，除此之外，這個向量的方向就是物體運動的方向。描述出一個物體運動的快慢和方向，就可以描述這個物體在參考系下的位置變化的狀態。

為什麼我們不直接說速度就時描述物體在參考系下的運動狀態？物體在參考系下除了有位置的變化，還能有一些其他的運動方式。由於並不是每一個研究對象都可以視為質點，所以，物體可能會發生轉動！而整個物體的速度，這個物理量，並沒有考慮物體本身的轉動。在研究某些問題時，不考慮物體本身的轉動，得到的結果往往是十分不精確的。例如在研究地月系時，由於地球和月球的位置關係不斷變化，月球會出現在地球不同的方位上並造成潮汐，但是潮汐會不斷地消耗整個系統的能量，使得地球、月球的自轉速度降低，最後達成潮汐鎖定。在這裡我們做一個約定，現在我們在沒有特定的研究環境時，我們使用運動狀態來取代位置變化狀態進行敘述，使得描述不那麼晦澀，但是讀者應該清楚，我們這裡的運動狀態不包括物體自身在參考系下的旋轉。

請注意，我們這裡說所的速度，是指瞬時速度。我們研究的物體，可能運動狀態在不斷變化，即每時每刻運動的方向和快慢都不一樣，因此只有使用瞬時速度來描述某一刻該物體的運動狀態。在研究一段時間內物體的運動時，我們使用平均速度這個概念。物體的平均速度${\mathit {\boldsymbol {v}}}$，指物體在某一段時間內，物體的位移${\mathit {\boldsymbol {s}}}$，與時間t的倒數的乘積，即

$${\mathit {\boldsymbol {v}}}={\frac {\boldsymbol {s}}{t}}$$

我們不得不這樣描述是因為速度和位移都是矢量。很多時候，在物體總是在運動在某個一維空間內時，我們只需要用正負號來表示方向，這個時候速度和位移均退化為一個實數，可以不使用向量的表示方法來表示。

如果我們只需要研究物體運動的快慢，那麼直接考慮速率${\mathit {v}}=|{\boldsymbol {v}}|$即可。

加速度

在講解加速度前，讓我們回顧總結一下關於現象的描述相關的內容，這樣有利於讓你理解為什麼我們需要定義加速度這樣一個物理量。我們說，自然科學是研究現象的科學，要通過對現象的描述、總結來建立模型，並對模型進行檢測。這裡的第一步就是描述現象，也就是說，任何自然科學的研究都建立在對現象的準確描述這一基石上。而我們的物理量就是為了描述現象，這也就是說，我們定義物理量是根據需要，物理量也必須是有意義的。我們定義加速度，是因為我們覺得有必要需要一個物理量來描述速度的變化值。在之後的學習中，你將會看到，加速度這樣一個物理量提出的多麼巧妙，多麼能解釋自然規律。

同講解速度的方式不同，我們直接說明，我們研究加速度，很少提出「平均加速度」這一說法。我們說的加速度都是瞬時加速度，也就是物體在某個瞬間速度的變化值。加速度的定義是：加速度是描述物體在參考系下的速度的變化狀態的物理量。也就是說，物體的速度可能是變化的，究竟是怎麼變，就是它的變化狀態，而加速度就是描述，物體的速度究竟怎麼變。加速度${\boldsymbol {a}}(a_{x},a_{y},a_{z})$，可以通過矢量分解、合成法則來理解，這裡不再追溯。由於我們現在還沒學習如何計算一個瞬時量，在計算瞬時量時，我們需要一種新的思想（指思維方式）——微分思想來實現，我們將在下一節介紹。現在，我們假設我們研究的對象的速度變化快慢是一定的，也就是加速度始終保持不變——雖然保持不變，但是你並不知道是多少，那麼物體的加速度${\boldsymbol {a}}$可以由時間段t、t結束時物體的速度${\boldsymbol {v_{1}}}$、t開始時物體的速度${\boldsymbol {v_{0}}}$計算得出。

$${\boldsymbol {a}}={\tfrac {{\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v_{0}}}}{t}}$$

根據公式，可以知道，加速度的單位是m/s²。

在地球上的物體，始終受到一個指向地心的加速度，這個加速度在地球不同的位置和海拔高度僅略有不同，叫做重力加速度。在一個較小區域，我們可以幾乎將這個加速度幾乎可以認為是垂直於地面且始終保持不變的，記做g，其值約為9.8m/s²。

簡單的運動問題

勻速運動和勻加速運動，是兩類特殊的簡單運動，對他們兩類運動研究，分別揭示了經典力學的兩大定律。在這裡，我們僅討論運動現象，而不討論和力有關的內容，即我們現在研究的是運動學，而不是動力學。在對簡單的運動進行研究時，我們不需要藉助向量來表示矢量，而是採取「分別描述矢量的大小和方向」的方式，來簡化表述。由於，矢量運算法則仍然遵循向量運算法則，因此在脫離向量後，我們需要用到三角函數來對矢量進行運算。

勻速運動

勻速運動，是指物體在參考系中所作的速度恆定的運動。物體的速度恆定，即速度的大小和方向都保持不變，那麼物體肯定做的是直線運動，因此勻速運動一定是直線運動。勻速運動是除靜止外最為簡單的運動。有關勻速運動的問題，一般涉及到速度、位移、位置、時間的相互計算以及矢量的合成與分解。

勻加速直線運動

物體勻加速直線運動，指的是物體做加速度恆定的直線運動。物體在做勻加速運動時，如果加速度和速度的方向相同，那麼根據矢量合成的法則，物體在任意時間內的速度均保持不變，現在我們來推導這個結論。以下退到所有的向量均只表示數量關係。

設物體運動的初速度為${\boldsymbol {v}}({\mathit {v_{x},v_{y},v_{z}}})$，加速度恆定為${\boldsymbol {a}}({\mathit {a_{x},a_{y},a_{z}}})$，則有

$${\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {a}}$$

在經歷任意時間段t後，物體運動的速度為

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v_{1}}}&={\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {a}}\\&=(1+{\frac {t}{\lambda }}){\boldsymbol {v}}\\\end{aligned}}$$

因此${\boldsymbol {v_{1}}}$與${\boldsymbol {v}}$共線，物體的速度始終保持方向不變。

做勻加速運動的物體，我們可以通過求其平均速度的方式，輾轉求出其位移，由於，在時間段t內，物體運動的平均速度為

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\overline {v}}}&={\frac {{\boldsymbol {v_{1}}}+{\boldsymbol {v_{0}}}}{2}}\\&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t\\\end{aligned}}$$

因此，位移

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {s}}&={\boldsymbol {\overline {v}}}t\\&={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}\\\end{aligned}}$$

當物體做勻加速運動且加速度和初速度方向不同時，物體的速度永遠都不可能變得和加速度相同，因此永遠都是作曲線運動，但是無論如何運動，運動軌跡始終在一個平面內。一個最簡單的非直線勻加速運動，就是不計任何阻力的情況下，拋出的任何物體加速度即為重力加速度。根據我們的常識，這樣的物體做的是曲線運動。

習題

1. 推導定律：做勻加速運動的物體始終在同一平面內運動。

思考題

1. 如何測量一個做勻加速運動的物體的速度和加速度？