高中數學/函數與三角/函數的單調性

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

本節介紹的是根據單調性的定義或複合函數的單調性規律來判斷函數的單調性，這也是最根本的方法。在後續課程中還會學到，對於可以求導的函數，可以根據導函數的取值正負來快速判斷函數的單調性。

在生產、生活和研究中，人們經常碰到的一個問題是求解一個變量的最佳取值，例如如何分配手中的資源可以使利潤的取值最大化，或是使成本的取值最小化。如果碰到的是單調函數，就非常容易找出其最大值與最小值。在後續的凸優化課程中，還會學到一類凸函數。凸函數值得格外關注的原因也是因為易於求解最大值和最小值。我們總是傾向於儘可能地將複雜的函數關係轉換成易於求解的形式，然後用我們對於簡單情形的豐富經驗擊敗它們，這是解決一切優化問題的總體思路。

基礎知識

單調性的概念

如果在一個函數的定義域I中任取2個點$x_{1}<x_{2}$，都能證明關係式$f(x_{1})<f(x_{2})$成立，則這個函數就是在區間I上嚴格單調遞增的（ strictly monotonically increasing），或者說是區間I上的嚴格增函數（strictly increasing function）。

如果在一個函數的定義域I中任取2個點$x_{1}<x_{2}$，都能證明關係式$f(x_{1})>f(x_{2})$成立，則這個函數就是在區間I上嚴格單調遞減的（ strictly monotonically decreasing），或者說是區間I上的嚴格減函數（strictly decreasing function）。

嚴格單調遞增函數與嚴格單調遞減函數統稱為嚴格單調函數（monotonic function或monotone function）。

單調性最明顯的重要性在於容易找到單調函數的最大值與最小值。如果已知或者能判斷出一個函數在某個區間上是單調函數，那麼它在該區間上的最大值與最小值始終在其兩側的端點處取到。單調性還可以用於比較函數值大小和查找函數的零點（即後面會學到的二分法）。

在高中教材中規定的單調就等同於上面的嚴格單調。

注意：之所以在這裡強調「嚴格」二字，是因為在許多高等數學教材中對單調遞增函數的定義是「$x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})$」，對嚴格單調遞增函數的定義才是$x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$。為了保證數學學習的連續性以及避免可能產生的誤解，特此加以強調。

證明函數單調性的基本方法主要有2種：

• 作差判斷法，即在定義域內任取$x_{1}<x_{2}$，判斷$f(x_{1})-f(x_{2})$的正負。
• 作商判斷法，即在有$f(x)>0$恆成立的前提下，在定義域內任取$x_{1}<x_{2}$，判斷${\frac {f(x_{1})}{f(x_{2})}}$與1的大小關係。

相關例題1：若函數$f(x)$在[a, b]上是嚴格增函數，則對任意不相同的$x_{1},x_{2}\in [a,b]$，下列結論正確的是(    )：

A.${\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0$；

B.$(x_{1}-x_{2})(f(x_{1})-f(x_{2}))>0$；

C.$f(a)<f(x_{1})<f(x_{2})<f(b)$；

D.${\frac {x_{1}-x_{2}}{f(x_{1})-f(x_{2})}}>0$。

相關例題2：下列說法正確的是(    )。

A.定義在(a, b)上的函數$f(x)$，若存在$x_{1},x_{2}\in (a,b)$，且$x_{1}<x_{2}$，滿足$f(x_{1})<f(x_{2})$，則$f(x)$在(a, b)上單調遞增。

B.定義在(a, b)上的函數$f(x)$，若有無窮多對$x_{1},x_{2}\in (a,b)$，使得$x_{1}<x_{2}$時，有$f(x_{1})<f(x_{2})$，則$f(x)$在(a, b)上單調遞增。

C.若$f(x)$在區間A上單調遞增，在區間B上也單調遞增，那麼$f(x)$在$A\cup B$上也一定單調遞增。

D.若$f(x)$在區間I上單調遞增，且$f(x_{1})<f(x_{2})\quad (x_{1},x_{2}\in I)$，則$x_{1}<x_{2}$。

相關例題3：判斷並證明函數$f(x)=x^{3}$的單調性。

相關例題4：判斷並證明函數$f(x)=x^{\frac {1}{2}}$的單調性。

相關例題5：判斷並證明函數$f(x)=x^{\frac {1}{3}}$的單調性。

相關例題6：判斷並證明函數$f(x)={\frac {x}{x-1}}$在$(1,+\infty )$上的單調性。

相關例題7：已知不等式$x^{2}-5ax+b>0$的解集為$\{x|x>4\lor x<1\}$。

(1) 求實數a和b的值。

(2) 若$0<x<1,f(x)={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{1-x}}$，求函數$f(x)$的最小值。

函數分段單調的基本問題

有時一個函數可能在不同的子區域中具有不同的單調性，這時需要根據不同的區間範圍單獨討論單調性。例如包含絕對值的函數在討論單調性時，一般需要先分不同情況去除絕對值，此時就可能會得到這種分段單調的函數。

即使函數在定義域內的每一個子集合上具有相同的單調性，也不能保證函數就一定在整個定義域上也單調。例如$f(x)={\frac {1}{x}}$在區間$(-\infty ,0)$上是單調遞減的，在區間$(0,+\infty )$上也是單調遞減的，但是由於顯然的事實$f(-1)<f(1)$，導致它在$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$上總體來看並沒有一致的單調性。

注意：若一個函數$f(x)$在2個不相交的閉區間上都有定義，如果希望函數在這2個區間的併集上仍然保持相同的單調性，除了分別檢查$f(x)$在2個子區間上的單調性是否一致，還必須檢查函數在2個區間的端點上的取值是否也有同樣的單調關係。

相關例題1：判斷函數$y=|x+2|$在區間[-3, 0]上的單調性。

相關例題2：求函數$f(x)=|x^{2}-6x+8|$的單調遞增區間。

相關例題3：已知$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}(3a-1)x+4a,x<1\\-x+1,x\geq 1\end{array}}\right.$，是定義在$\mathbb {R}$上的減函數，求a的取值範圍。

相關例題4：設函數$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}|x^{2}-x-2|,x\geq a\\ax-6,x<a\end{array}}\right.$，是定義在$\mathbb {R}$上的增函數，求實數a的取值範圍。

相關例題5：設函數$g(x)=x^{3}-2\quad (x\in \mathbb {R} )$，$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}g(x)+x+4,\quad x<g(x)\\g(x)-x,\quad x\geq g(x)\end{array}}\right.$，求$f(x)$的值域。

相關例題6：證明：若函數$f(x)$在2個部分相交的區間(a, c)和(b, d)上分別都是單調遞增的（保證$a<b<c<d$），則$f(x)$在(a, d)上也是單調遞增的。

相關例題7：判斷下列說法的正誤：
(1) 若一個函數在2個相交的集合A、B上分別都是單調遞增的，則此函數在$A\cup B$上也一定是單調遞增的。(    )
(2) 若一個函數在2個不相交的集合A、B上分別都是單調遞增的，則此函數在$A\cup B$上也一定是單調遞增的。(    )
(3) 若區間I可以分為A、B這2個不相交的集合，且某個函數在A、B上分別都是單調遞增的，則此函數一定在I的某個開的子區間上會是單調遞增的。(    )
(4) 存在一個函數，它不是常函數，但是它在其定義域的任何子區間內都不是單調的。(    )

複合函數的單調性

一般來說，增函數是保持單調性的映射，減函數是顛倒單調性的映射。

當參與複合的任何一個函數在其定義域內是分段單調函數時，就需要很小心地分類討論。

相關例題1：判斷函數$f(x)=x^{3}+2x+1$的單調性。

相關例題2：判斷函數$f(x)=x^{3}-{\frac {1}{x^{3}}}$的單調性。

相關例題3：判斷函數$f(x)=2^{x^{3}}(x^{5}+5x)\quad (x>0)$的單調性。

相關例題4：求函數$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2}}$的值域。

相關例題5：求函數$y={\sqrt {x^{2}+3x}}$的單調遞減區間。

相關例題6：求函數$f(x)=2-{\sqrt {-x^{2}+4x}}$的值域。

相關例題7：已知函數$f(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+3x}}}$，求$f(2-x)$的單調遞增區間。

常用結論與常見模型

含參函數的單調性討論

相關例題1：若$f(x)={\frac {\sqrt {3-ax}}{a-1}}\quad (a\neq 1)$在區間(0, 1]上是減函數，求實數a的取值範圍。

相關例題2：已知$f(x)={\frac {x}{x-a}}\quad (x\neq a)$。
(1)若$a=-2$，求證$f(x)$在$(-\infty ,-2)$上單調遞增。
(2)若$a>0$，且$f(x)$在$(1,+\infty )$上單調遞減，求實數a的取值範圍。

利用單調性解不等式

相關例題：設函數$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}2x^{2},\quad x\geq 0\\-2x^{2},\quad x<0\end{array}}\right.$，求不等式$f(3-x)\geq 3f({\frac {\sqrt {3}}{3}}x)$的解集。

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

單調函數