高中數學/微積分初步/導數與切線方程

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

在高中數學的導數相關章節中，其學習目的主要在於考察下列3類問題（按重要性順序排列）：

• 判斷函數單調性與求解極值。（參見導數與單調性和極值的關係章節。）
• 解決曲線切線求解的問題。
• 解決不等式問題。（參見利用導數證明不等式章節。）

其中第2類問題體現了導數最直接、最基礎的幾何意義，也就是本節的要討論的內容。

預備知識

閱讀本節，需要先學習有關導數幾何意義、直線方程的知識。此外，本節的例題、習題大多都需要求解代數方程組或簡單的超越方程組，讀者需要熟悉解方程組知識中有關「加減消元」、「代入消元」、「對數變形」的技巧。

考試要求

本節中所涉及的最難的問題是2個曲線的公共切線的求解，而且計算過程中可能會遇到同時含對數、指數符號的方程組。不過這種問題一般只會出現在較難的填空題或解答題中，所占比例並不多。一般的求導數切線方程的問題還是不難的，只要熟悉導數的幾何含義、直線方程的變形與求解就能比較輕鬆搞定。

基礎知識

導數與切線方程的問題，主要分為下列3種基本題型：

• 求曲線在某點處的切線方程。
• 求曲線過某點的切線方程。
• 求2條曲線的公切線方程。

解決這些問題除了應用求導公式，一般還要結合導數的幾何意義，即曲線在某點處的切線的斜率等於對應函數在切點處的導函數。我們可以使用代數式將導數的幾何意義重新表示為：

$k=f'(x_{0})$

其中k表示切線的斜率，$x_{0}$表示切點的橫坐標。

理解導數的幾何意義，以及學會靈活使用這個關係式，都是解決這類涉及曲線切線問題的關鍵。

我們指出2個注意事項：

• 對於求曲線過某點處的切線方程的問題，一定要先判斷一下這個點在不在曲線上，情況不同則後續的做法也會不同。
• 相切是一個局部性質，切線可能與曲線在不同位置有多個交點。換句話說，直線與曲線公共點的個數不是切線的本質。

接下來，我們分別來看這些具體問題。

過曲線上一點的切線方程

這種問題就是已知曲線方程及切點位置的橫坐標，求切線方程。其通用解法步驟為：

1. 確定切點。
2. 根據導數的幾何意義「切線的斜率等於曲線在切點處的導數」求出切線的斜率。
3. 寫出切線方程。

相關例題1： 已知函數$f(x)={\frac {2}{3}}x^{3}-7x+{\frac {2}{3}}$；求曲線y = f(x)在x = 2處的切線方程。
（分析與提示：「曲線在點x = 2處的切線」的意思是切點的橫坐標是2。根據切點在曲線上，把x = 2代入曲線方程，就可以求出切點的縱坐標。然後根據導數的幾何意義求出切線的斜率k。最後使用點斜式寫出切線的方程。）

相關例題2： 求過原點且與函數$f(x)={\frac {1}{x}}$相切的直線方程。

相關例題3： 已知函數f(x)滿足$f({\frac {x}{2}})=x^{3}-3x$，求f(x)的圖象在x = 1處的切線斜率。

曲線過一般定點的切線方程

對於更一般的曲線切線過定點的求解問題，我們也可以得到下列通用做法：

求已知平面曲線$y=f(x)$過指定點的切線方程時，需要先判斷給定的點是否在已知曲線上：

• 如果是，則化歸為前面討論過的情形。即只需要根據導數的幾何意義求出切線的斜率即可。
• 如果不是，則需要用待定係數法設經過指定點的直線方程，然後根據相切的條件列式求解：

1. 假設切點坐標為$P(x_{0},y_{0})$。
2. 根據$P(x_{0},y_{0})$和已知定點的信息，設出通過這2點的直線方程的斜率表達式k。
3. 求出曲線在P點處的導數$f'(x_{0})$。
4. 根據導數的幾何意義「切線的斜率等於曲線在切點處的導數」，解方程或解方程組求出切線的斜率。
5. 根據得到的斜率值，寫出最終的切線方程。

注意：(1)如果僅是已知切線過某定點，不能說明該定點就是曲線的切點，所以必須先通過代入曲線方程檢驗的方法判斷其確切類型。(2)如果點不在曲線上，那這個點肯定不是切點，求切線方程的求解辦法會明顯不同於點在曲線上時的做法。(3)注意切線斜率可能不存在的情況（比如單位圓的上半圓圓弧$y={\sqrt {1-x^{2}}}$的左右2個端點會有垂直的切線）。雖然一般中學考試中不會遇到它，但是為了論述嚴謹，最好還是不應該遺漏對它的分析。同時為避免長篇大論，可以只作一句簡要說明。

相關例題： 已知函數$f(x)=e^{x}-2x+2$，求過點P(0, 2)且與y = f(x)相切的直線方程。

參考解答：
記點P的橫坐標為$x_{P}$，縱坐標為$y_{P}$。由題意可知$x_{P}=0,y_{P}=2$。
我們先判斷給定的點P是否在曲線上。
假設P點在曲線上，那麼可以嘗試將P點的橫坐標$x_{P}=0$代入函數f(x)進行驗證：
$f(0)=e^{0}-2\cdot 0+2\neq 2=y_{P}$
由於計算出的y值與P點的實際y值不一致，所以說明點P不是切點。
另設切點的坐標為$(x_{0},y_{0})$。
結合曲線形狀以及切線必過的P點相對於曲線的位置關係，易知切線斜率是存在的。
首先，由於切點在函數曲線上，所以其坐標一定滿足函數關係式：
$y_{0}=f(x_{0})\quad \Rightarrow \quad y_{0}=e^{x_{0}}-2x_{0}+2$
其次，易知f'(x) = e^x - 2，並且根據在切點處的導數值等於切線斜率可以得到：
$f'(x_{0})=k\quad \Rightarrow \quad e^{x_{0}}-2=k$
最後，由於切線同時通過切點和給定點P，所以切線的斜率k可以表示為：
${\begin{array}{l}k={\frac {y_{0}-y_{P}}{x_{0}-x_{P}}}={\frac {y_{0}-2}{x_{0}-0}}={\frac {f(x_{0})-2}{x_{0}}}\\={\frac {(e^{x_{0}}-2x_{0}+2)-2}{x_{0}}}={\frac {e^{x_{0}}}{x_{0}}}-2\end{array}}$
因為k的2種表達式應該取值相同，所以：
${\begin{array}{l}e^{x_{0}}-2=k={\frac {e^{x_{0}}}{x_{0}}}-2\quad \Rightarrow \quad e^{x_{0}}={\frac {e^{x_{0}}}{x_{0}}}\\\Rightarrow e^{x_{0}}(1-{\frac {1}{x_{0}}})=0\quad \Rightarrow \quad e^{x_{0}}(x_{0}-1)=0\end{array}}$
因為$\forall x\in \mathbb {R} ,e^{x}>0$，所以$x_{0}-1=0$，即$x_{0}=1$。
進而$y_{0}=f(x_{0})=f(1)=e,k=f'(x_{0})=f'(1)=e-2$。故所求切線為：
$y-y_{0}=k(x-x_{0})\quad \Rightarrow \quad y-e=(e-2)(x-1)\quad \Rightarrow \quad y=(e-2)x+2$

答案：y = (e-2) x + 2。

簡單的含參求解問題

求參數值的問題一般都是通過列方程求解。

已知切線方程求參數的值，一般仍然是根據以下2個等量關係來列式求解：

• 根據導數的幾何意義，切線的斜率等於導函數在切點處的函數值。
• 根據切點既在切線上，又在曲線上列出等式。

過公切點的公切線問題

當2個函數的兩條切線重合時，就可以討論公切線與公切點的概念。對函數f(x)和g(x)，它們的公共切線L是既與曲線y = f(x)相切，又與曲線y = g(x)相切的直線，簡稱為公切線。如果公切線與2條已知曲線的交點是公共的（重合的），這樣的交點就叫做公共切點，簡稱公切點。

本小節我們側重分析只涉及公切點的切線方程求解，因為這種問題較為容易。

對於切點重合的情形，設出切點$(x_{0},y_{0})$，然後聯立下列方程組即可求出公切點坐標：

$\left\{{\begin{array}{l}f(x_{0})=g(x_{0})\\f'(x_{0})=g'(x_{0})\end{array}}\right.$

而代表切線斜率的f'(x_0)也能在上述求解過程中順便得到。最後寫出所求切線方程的斜截式即可完成要求。

相關例題1： 設$f(x)=ax^{2}+1\quad (a>0),g(x)=x^{3}+bx$。已知曲線y = f(x)與y = g(x)在它們的相交點P(1, c)處具有公共切線，求a和b的值。

參考解答：
首先，根據題中所給的函數都是多項式函數，其導數值不可能在某處取值為無窮大（一旦這樣會形成垂直的切線），所以其圖象公切線的斜率肯定是存在的。
由求導也可知$f'(x)=2ax,g'(x)=3x^{2}+b$。
根據題意可得：
$\left\{{\begin{array}{l}f(1)=g(1)\\f'(1)=g'(1)\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}2a=3+b\\a+1=1+b\end{array}}\right.$
解得a = b = 3。

答案：a = b = 3。

相關例題2： 已知函數$f(x)=\ln x-{\frac {x+1}{x-1}}$。

(1) 討論f(x)的單調性，並證明f(x)有且僅有2個零點；

(2) 設$x_{0}$是f(x)的一個零點，證明曲線$y=\ln x$在點$A(x_{0},\ln x_{0})$處的切線也是曲線$y=e^{x}$的切線。

（出自2019年中國大陸新課標高考理科數學全國卷Ⅱ第20題（解答題之「必考題」部分倒數第2題）。）

相關例題3： 記f'(x)、g'(x)分別為函數f(x)、g(x)的導函數。若存在$x_{0}\in \mathbb {R}$，滿足$f(x_{0})=g(x_{0})$且$f'(x_{0})=g'(x_{0})$，則稱x_0為函數f(x)與g(x)的一個「S點」。

(1) 證明：函數f(x) = x與$g(x)=x^{2}+2x-2$不存在「S點」；

(2) 若函數$f(x)=ax^{2}-1$與$g(x)=\ln x$存在「S點」，求實數a的值；

(3) 已知函數$f(x)=-x^{2}+a,g(x)={\frac {be^{x}}{x}}$。對任意a > 0，判斷是否存在b > 0，使函數f(x)與g(x)在區間$(0,+\infty )$內存在「S點」，並說明理由。

（出自2018年中國大陸高考數學江蘇卷數學Ⅰ第19題（倒數第2題）。註：當時江蘇省文、理科高中學生都需要考數學Ⅰ卷，數學Ⅱ卷則是僅限於考察理科生的附加題。）

一般的公切線問題

非公切點的公切線的求法主要有下列3種思路（都要先設好2個交點的坐標）：

• 以直線為核心，在2個交點處都分別聯立一組方程。
• 同時考慮2個交點來構造斜截式直線方程，並利用導數的幾何意義得到在2個交點處的約束條件。
• 利用導數值分別計算出2個曲線的切線方程，通過令它們的各項係數對應相等來建立方程組。

思路1是先設出直線方程，然後分別在每個交點處找直線和曲線的各種關係、列出方程組。所以這個思路就是將問題的要點拆散，然後各個擊破。雖然易於理解，但是做起來麻煩，因為需要求解2套方程組。
思路2則相當於是思路一的步驟簡化版，將約束方程都一次性列出來，而不是按2個不同的點去分批考慮它們。
思路3利用了公切線的唯一性。

我們先通過1個具體例題來分析和比較這3種思路的差異：

相關例題1： 若直線y = kx + b是曲線$y=\ln x+2$的切線，也是曲線$y=\ln(x+1)$的切線，則b = (    )。
（出自2016年中國大陸高考理科數學重慶卷第16題（填空題最後一題）。）

分析與提示1：
首先由題意可知，2個曲線的公切線存在，且不是平行於y軸的豎直直線（因為已經為其設置好了斜率k，證明斜率是存在的），所以我們不需要再去單獨討論公切線斜率不存在的特殊情形。
我們先分析最簡單的一種可行思路，也就是把問題拆成2個子問題考慮。
求2條曲線的公切線，對於初學者來說，如果同時考慮2條曲線與直線相切，頭緒可能會比較亂。
為了使思路更清晰，可以把2條曲線分開考慮。也就是先分析其中一條曲線與直線的相切條件，再分析另一條曲線與這條直線的相切條件。這樣就轉化為2個相對獨立的簡單切線問題了。
設出切線L的方程後，先考慮L與第1條曲線相切。與其它切線問題一樣，藉助導數的幾何意義以及根據切點在切線上又在曲線上這一特點，可以列出2個方程。再考慮L與第2條曲線相切的事實，使用同樣的方法又可以列出2個方程。求解這些方程，即可得到所有未知參數。
這樣一來，我們只使用解決相切問題的普通解法，就可以順利求出2條曲線的公切線，只不過分析了2次相切條件罷了。
值得一提的是，無論2個切點是否重合，這種方法都是可行的。

參考解答1：
為了區分2條曲線，記$f(x)=\ln x+2\quad (x>0),g(x)=\ln(x+1)\quad (x>-1)$。
假設所求切線方程與y = f(x)相切於點$(x_{1},y_{1})$，與y = g(x)相切於點$(x_{2},y_{2})$
易得$f'(x)={\frac {1}{x}},g'(x)={\frac {1}{x+1}}$。
先考慮切線y = kx + b與曲線y = f(x)的相切條件。
根據導數的幾何意義「切線的斜率k等於導函數在切點處的函數值」，可以列出等式：
$k={\frac {1}{x_{1}}}$
再根據切點在切線上，又在曲線上，所以其坐標同時滿足二者的方程，可以列出等式：
$\left\{{\begin{array}{l}f(x_{1})=y_{1}=kx_{1}+b\\\ln x_{1}+2=kx_{1}+b\end{array}}\right.$
目前列出了2個方程，方程中有3個未知參數，所以方程個數明顯還不夠，需要繼續列方程。
同理，考慮切線y = kx + b與曲線y = g(x)相切的條件，可得：
$\left\{{\begin{array}{l}k={\frac {1}{x_{2}+1}}\\g(x_{2})=y_{2}=kx_{2}+b\quad \Rightarrow \quad \ln(x_{2}+1)=kx_{2}+b\end{array}}\right.$
現在有了4個獨立方程，共涉及未知4個參數，恰好可以組成方程組可以求出各個未知參數的值。我們將其匯總如下：
$\left\{{\begin{array}{l}k={\frac {1}{x_{1}}}\\k={\frac {1}{x_{2}+1}}\\\ln x_{1}+2=kx_{1}+b\\\ln(x_{2}+1)=kx_{2}+b\end{array}}\right.$
由於解這個方程組可能略有難度，我們在此展示其求解步驟。
先由其中前2式可得：
$x_{1}=x_{2}+1$
再由其中後2式相減可得：
${\begin{array}{l}k={\frac {\ln x_{1}+2-\ln(x_{2}+1)}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {\ln({\frac {x_{1}}{x_{2}+1}})+2}{x_{1}-x_{2}}}\\={\frac {\ln({\frac {x_{1}}{x_{1}}})+2}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {\ln 1+2}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {\ln 1+2}{1}}=2\end{array}}$
進而可得$x_{1}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{2}},x_{2}=x_{1}-1=-{\frac {1}{2}}$。
將$k,x_{1},x_{2}$的值一起代入方程$\ln x_{1}+2=kx_{1}+b$，可得：
$b=\ln x_{1}+2-kx_{1}=\ln {\frac {1}{2}}+2-2\cdot {\frac {1}{2}}=-\ln 2+2-1=1-\ln 2$

分析與提示2：第2種方法是設置好切點坐標後，利用2個切點坐標確定k的表達式。這種方法會得到與前一種思路相同的方程組，但是步驟簡短一些，缺點是需要保證2個切點的位置不重合才行。

參考解答2：
記$f(x)=\ln x+2\quad (x>0),g(x)=\ln(x+1)\quad (x>-1)$，並記題中所言的切線為L。
設此直線L與曲線y = f(x)的切點為$(x_{1},y_{1})$，與曲線y = g(x)的切點為$(x_{2},y_{2})$。
由題中所設直線與對數型曲線的解析式易知L的斜率k是存在的，且公切線不可能切於同一個公共切點，即有理由保證$x_{1}\neq x_{2}$。
於是k可以用2個端點的坐標表達如下：
$k={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
由於L與y = f(x)相切於點$(x_{1},y_{1})$，並且易知$f'(x)={\frac {1}{x}}$，我們可以得到一個導數與切線斜率的相等關係：
$f'(x_{1})=k$
還可以得到一個函數值在該點相等的關係：
$f(x_{1})=y_{1}=kx_{1}+b$
又由於L與y = g(x)相切於另一個點$(x_{2},y_{2})$，並且易知$g'(x)={\frac {1}{x+1}}$，我們同樣可以得到一個導數與切線斜率的相等關係：
$g'(x_{2})=k$
同理，還可以得到一個函數值在該點相等的關係：
$g(x_{2})=y_{2}=kx_{2}+b$
我們將上述方程匯總如下：
$\left\{{\begin{array}{l}f'(x_{1})=k\\g'(x_{2})=k\\f(x_{1})=kx_{1}+b\\g(x_{2})=kx_{2}+b\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {1}{x_{1}}}=k\\{\frac {1}{x_{2}+1}}=k\\\ln x_{1}+2=kx_{1}+b\\\ln(x_{2}+1)=kx_{2}+b\end{array}}\right.$
這樣我們得到了與前一種做法相同的方程組。採用與上一種解法中同樣的求解過程，也可以得到$k=2,b=1-\ln 2$。

分析與提示3：第3種方法是在2個切點處各設2個切線方程，然後根據題意使2種形式下的切線重合，從而得到公切線滿足的條件。採用這種方法也不需要區分2個切點是否重合。

參考解答3：
記$f(x)=\ln x+2\quad (x>0),g(x)=\ln(x+1)\quad (x>-1)$。
易知$f'(x)={\frac {1}{x}},g'(x)={\frac {1}{x+1}}$。
過曲線y = f(x)上的一點$(x_{1},y_{1})$的切線方程（點斜式）為：
${\begin{array}{l}y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})\\y-(\ln x_{1}+2)={\frac {1}{x_{1}}}(x-x_{1})\\y={\frac {1}{x_{1}}}x+(\ln x_{1}+1)\end{array}}$
過曲線y = g(x)上的一點$(x_{2},y_{2})$的切線方程（點斜式）為：
${\begin{array}{l}y-y_{2}=g'(x_{2})(x-x_{2})\\y-\ln(x_{2}+1)={\frac {1}{x_{2}+1}}(x-x_{2})\\y-\ln(x_{2}+1)={\frac {1}{x_{2}+1}}x-{\frac {x_{2}}{x_{2}+1}}\\y={\frac {1}{x_{2}+1}}x+(\ln(x_{2}+1)-{\frac {x_{2}}{x_{2}+1}})\end{array}}$
記題中所言的切線為L。根據題意，它是上述2條曲線的公切線，所以將y = f'(x)的切線與y = g'(x)的切線重合就能得到L的方程。
換句話說，將y = f'(x)的切線方程與y = g'(x)的切線方程中的各項係數對應起來，就能得到L應該滿足的條件。即兩種切線方程的斜率k和截距b應該一一對應相等：
$\left\{{\begin{array}{l}k={\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}+1}}\\b=\ln x_{1}+1=\ln(x_{2}+1)-{\frac {x_{2}}{x_{2}+1}}\end{array}}\right.$
因為通過這種方法得到的方程組與前2種做法得到的方程組不太一樣，我們也順便單獨指出一下此方程組的求解過程。
由上述方程組中的第1個式子可得$x_{1}=x_{2}+1$。
將$x_{1}=x_{2}+1$代入方程組中的第2個式子可得：
${\begin{array}{l}\ln x_{1}+1=\ln x_{1}-{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\\\Rightarrow 1=-{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\\\Rightarrow x_{1}=-x_{2}\\\Rightarrow x_{2}+1=-x_{2}\\\Rightarrow x_{2}=-{\frac {1}{2}}\\\Rightarrow x_{1}=x_{2}+1=-{\frac {1}{2}}+1={\frac {1}{2}}\end{array}}$
最後可以利用曲線y = f(x)的切線方程算出其截距b為：
$b=\ln x_{1}+1=\ln {\frac {1}{2}}+1=1-\ln 2$

答案：$1-\ln 2$。

點評： 解決這類問題，需要注意2個問題：(1)切線是否存在斜率；(2)2個切點的位置是否重合會不會影響到解法的有效性，或者說所用的解法會不會遺漏切點重合的情形。對於可能引起漏解的方法，需要作簡要說明。
如果比較方法1與方法2，可以發現雖然二者思路相近，方法2做法比方法1更簡明快捷，但是方法2隻適用於2個切點明顯並不重合的情形。第3種方法令2種切線方程係數對應相等，設的是直線的點斜式方程，它在只需要求解公切線斜率、不需要求解公切線的截距時更好用。最後，所有使用所有上述方法時，嚴格來說都必須留意是否存在公切線斜率不存在的特殊情況。由官方提供的標準答案就沒有做好這一點。

我們將其中較為便攜的2種思路的關鍵步驟分別陳述如下（都假設公切線斜率存在）：

同時考慮2個不同交點並設斜截式切線方程的主要步驟（需要保證交點不重合）：

1. 設切線斜率為k，再分別設直線與2個函數f(x)和g(x)的切點為$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$。
2. 分別計算2個函數的導函數f'(x)和g'(x)。
3. 最後，根據相切條件可聯立並求解下列方程組：

$\left\{{\begin{array}{l}f'(x_{1})=g'(x_{2})=k\\k={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\y_{1}=f(x_{1})\\y_{2}=g(x_{2})\end{array}}\right.$

令分別在2個點考慮的切線方程各項係數對應相等的求解思路（2個交點可以是重合的）：

1. 分別設點求切線：分別設出直線在兩已知曲線上的切點的坐標$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$，並通過分別計算導函數的方法求出兩曲線各自在切點上的切線方程$L_{1},L_{2}$。
2. 建立方程組：根據兩曲線的切線重合，推知兩切線的斜率和在y軸上的截距都分別相等，進而寫出關於切點橫坐標$x_{1},x_{2}$應該滿足的一組方程。
3. 解方程組：至少求出$x_{0}$或$x_{1}$其中之一的值。
4. 求切線方程：把所求出的切點橫坐標值代入所在曲線的切線方程。

相關例題2： 設$f(x)=e^{x},g(x)=\ln x+2$，直線L是y = f(x)與y = g(x)的公切線。求此直線L的方程。
（答案：y = ex或y = x+1。）

相關例題3： 已知函數$f(x)=x^{2}$的圖象在點$P(x_{0},x_{0}^{2})$處的切線為L，且L也與另一個函數$g(x)=\ln x\quad (x\neq 1)$的圖象相切。求$x_{0}$的取值範圍。
（答案：$({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$。）

常用結論與常見模型

切線不等式

結合切線的幾何意義得到的不等式叫做切線不等式。例如：

• $e^{x}\geq x+1$可以理解為y = x + 1是$f(x)=e^{x}$過點(0, 1)且朝下方傾斜的切線方程。
  • $x\geq \ln(x+1)$可以理解為y = x是$f(x)=\ln(x+1)$過點(1, 0)且朝上方傾斜的切線方程。
  • $x-1\geq \ln x$可以理解為y = x - 1是$f(x)=\ln x$過點(1, 0)且朝上方傾斜的切線方程。

切線不等式的用途：

• 利用切線可以劃分平面區域，從而建立不同函數之間的不等關係。
• 利用切線不等式可以放縮簡單的指數或對數函數，方便它們與多項式函數進行取值大小的比較。
• 構造可比較不等關係的切線是在線性約束下求證多元對稱不等式的切線證法的基礎。

提示：切線不等式來源於函數泰勒展開式中的一階近似項。由泰勒展開式不但可以推出切線不等式，還可以得到更高精度的局部取值估計。

相關例題： 從導數（或切線）的幾何意義出發，簡述下列常用不等式（或不等式鏈）的直觀含義：

(1) $e^{x}>ex\quad (x>1)$；

(2) $-{\frac {1}{x}}<{\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1$。

圓錐曲線的切點弦方程與切線方程

本小節我們補充有關圓錐曲線的切線、切點的知識，尤其是它們的方程具有的共同點。

圓錐曲線的切線方程，一般需要分類討論，或者藉助對隱函數求導的方法。

在平面上，過曲線外一點，引出該曲線的2條切線（假定曲線足夠光滑，保證這樣的2條切線存在），過這2個切點的直線方程叫做曲線的切點弦方程。

提示：這裡所說的「曲線外的點」是指不在曲線上的點，或者說是指不屬於曲線本身（即曲線不通過、不滿足曲線方程）的點，而不是指（因而也不要理解成）在曲線所可能構成的封閉區域外側的點。例如對橢圓而言，其內部區域的點和外部區域中的點都可以籠統地叫做曲線外的點。

對於高中最常見的二次曲線$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$，其切點弦方程為：

$Ax_{0}x+B{\frac {x_{0}y+y_{0}x}{2}}+Cy_{0}y+D{\frac {x_{0}+x}{2}}+E{\frac {y_{0}+y}{2}}+F=0$

圓、橢圓、雙曲線、拋物線的切點弦方程都是上述一般情形的特例：

• 過圓$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$外一點$P(x_{0},y_{0})$的切點弦方程為$x_{0}x+y_{0}y+D{\frac {x_{0}+x}{2}}+E{\frac {y_{0}+y}{2}}+F=0$。
  • 推論：過圓$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$外一點$P(x_{0},y_{0})$的切點弦方程為$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$。
• 過標準橢圓${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a,b>0)$外一點$P(x_{0},y_{0})$的切點弦方程為${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$。
• 過標準雙曲線${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a,b>0)$外一點$P(x_{0},y_{0})$的切點弦方程為${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$。
• 過標準拋物線$y^{2}=2px(p>0)$外一點$P(x_{0},y_{0})$的切點弦方程為$y_{0}y=p(x_{0}+x)$。

其次，我們來考慮切點弦與切線的關係。因為當考察的定點P從曲線外運動到曲線上時，切點弦就退化為一個點，而2個切線重合併取代了原來切點弦應該所處的位置。所以曲線的切點弦方程和切線方程雖然本是不同的概念，但是具有完全一樣的形式。

過曲線外一點P的切點弦方程和當P點運動到曲線上時在P點處的切線方程在形式上是完全相同的。

換句話說，過二次曲線$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$上一定點$P(x_{0},y_{0})$的切線方程也是：

$Ax_{0}x+B{\frac {x_{0}y+y_{0}x}{2}}+Cy_{0}y+D{\frac {x_{0}+x}{2}}+E{\frac {y_{0}+y}{2}}+F=0$

較複雜的公切點的存在性或計數問題

如果根據相切條件列出的等式是比較麻煩的超越方程，則有關切點的存在性就需要採用數形結合思想和零點分析等技巧進行更進一步的討論。

相關例題： 已知函數$f(x)=e^{x},g(x)=\log _{a}x$，其中a > 1。

(1) 求函數$h(x)=f(x)-x\ln a$的單調區間；

(2) 若曲線y = f(x)在點$(x_{1},f(x_{1}))$處的切線與曲線y = g(x)在點$(x_{2},f(x_{2}))$處的切線平行，證明$x_{1}+g(x_{2})=-{\frac {2\ln \ln a}{\ln a}}$；

(3) 證明當$a\geq e^{\frac {1}{x}}$時，存在直線L，使L是曲線y = f(x)的切線，也是曲線y = g(x)的切線。

（出自2018年中國大陸高考理科數學天津卷第20題（解答題最後一題）。）

牛頓切線迭代法

求零點近似值的三大常用方法是二分法、割線迭代法和牛頓切線迭代法。

補充習題

• 若直線L既是曲線$y=e^{x}+1$的切線，也是曲線$y=e^{x+2}$的切線，求此直線L的方程。
  

（答案：$x-2y+3+\ln 2=0$。）

• 給出理由判斷說法是否成立：若某直線與給定的二次函數圖象只有唯一的交點，則此直線一定是該二次函數圖象的切線。

參見

• 線性約束多元對稱不等式的切線證法（選學）
• 求解零點的割線迭代法（選學）

外部連結

維基百科中的相關條目：

切線

維基百科中的相關條目：

牛頓法