高中數學/概率與統計/隨機性的描述與概率模型

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概率論應用極廣。除了統計學以及從概率論自身發展出來的隨機過程、貝葉斯推斷、決策論等分支學科以外，模糊數學、密碼學、機器學習、量子力學、金融數學、電子遊戲策劃等課題也都是完全離不開概率論的。

玩笑：概率論與賭博的關係也很密切，雖然還沒有形成賭博學這個獨立學科。雖然很多概率論普及文章會論述就賭必輸、回頭是岸的道理，但是誰知道數學家們研究概率論時心裏面不是為了更好地贏一把呢？

玩笑：每一個看多了科幻片的沙發土豆即使沒學過概率論，也一定都聽說過「遇事不決，量子力學」的說法吧。很多沒有才能的科幻片導演，編出了一些胡編亂造的技術名詞，難以通過已知的物理法則解釋，就說將其歸結為新的量子原理敷衍觀眾。

基礎知識

知識引入

生活中許多事情是否發生是難以預料的。習慣上，我們傾向於用一個0到1之間的數字描述一件事發生的可能性大小，數字越小代表越不可能發生，越大代表越有可能發生。這種簡單的想法引申出了對可能性大小的定義。

講到隨機性，最俗套的例子就是拋2個面的硬幣和拋6個面的骰子。經驗告訴我們，較為均勻的硬幣和骰子，胡亂扔出去並落地以後，以任何一面朝上的可能性都存在，而且看起來應該是均等可能地出現。硬幣的正面在英文中叫做大頭（head），反面叫做尾巴（tail），所以擲硬幣遊戲也叫做大頭還是尾巴（heads or tails）。數學中經常會用H和T這2縮寫字母代表單次擲硬幣的結果。

玩笑：你們在考試遇到不知道答案應該選什麼的選擇題時，也是會需要一個硬幣或骰子這種道具的（不要迷信「亂選一個C就好」的說法，這是對自己的不負責任，有的人連英語判斷題都習慣性在答題卡上填C），或者恨不得突然擁有一個。如果你碰到了喜歡一邊搖骰子，一邊決定選項順序的，那麼正好棋逢對手。這在概率論中的確是有意義的問題。另外，不要把擲硬幣遊戲和海飛絲（Head and Shoulders）洗髮水混為一談。從電影《進化危機》（Evolution）中我們可以得知海飛絲可以消滅許多外星怪獸，硬幣則沒有這麼多花哨的功能（除了還可以許願）。

事件的分類和概率的概念

在指定條件下：

• 可能會發生，也可能不會發生的事件叫做隨機事件（random event）；
• 一定會發生的事件叫做必然事件（certain event）；
• 一定不會發生的叫做不可能事件（impossible event）。

粗略地講，如果能用一個（在[0, 1]之間的）數字明確地衡量一個事件發生的可能性大小，那麼這樣的數字就叫做該事件的概率（probability）或幾率。

必然事件發生的概率為1，不可能事件的發生概率為0。

提示：概率是事件本身的固有特性，數學上只考慮範圍描述明確、可以用概率值描述的事件。

由以上規定可知任意事件A的概率P(A)一定滿足：$0\leq P(A)\leq 1$。

注意：雖然必然事件發生的概率為1，不可能事件的發生概率為0，但是反過來未必如此。仔細推敲可以發現，我們沒有規定概率為1的事件就是必然事件，也沒有規定概率為0的事件就是不可能事件。在本節即將介紹的幾何概率模型中就會見到這樣的例子。

一般來說，對於一個複雜、一般性的問題，我們會將事件細分為更小、可能更明確的基本事件（elementary event）。基本事件是概率論中無法嚴格定義的基本概念之一。如果一個事件不可以繼續被劃分為顆粒度（或者說包含範圍）更小的子事件，那麼這樣的事件就可以被當作基本事件。

事件像集合一樣，也可以規定包含關係。如果事件A發生則B一定發生，就說事件B包含事件A（記作$B\supset A$），或者事件A包含於事件B（記作$A\subset B$）。類似地，還可以定義2個事件A和B的並（即其中任一事件發生，記為$A\cup B$）與事件A和B的交（即其中所有事件都發生，記為$A\cap B$或AB），並可以用文氏圖表示出來。

知識背景：從集合觀點談論概率是很有啟發性的。尤其是大學課本對概率的嚴格定義就是基於事件集合的。事件集合也被稱為樣本空間，單個事件被稱為其中的樣本點。而一個具體的事件集合連同此集合上合理規定的事件運算、概率這三者一同被合稱為概率空間。當然只有事件集合明確的問題才有討論事件概率的前提。在大學的概率論課程中將會看到，這種抽象使概率脫離了具體的問題背景，但是又保留了概率的運算本質，從而也減少了語境束縛，使得更一般性、更純粹化的概率理論研究成為可能。

相關例題1： 已知A和B是任意的2個事件，利用集合的容斥原理求證關係式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。

相關例題2： 求證對於任意2個事件A、B成立的邦費羅尼（Bonferroni）不等式：$P(AB)\geq P(A)+P(B)-1$。

頻數和頻率

多次重複進行同一試驗時，事件A發生的次數叫做頻數（frequency），頻數占總試驗次數的比例叫做頻率（relative frequency）。

將事件的相關條件準備好，檢測單次事件的發生情況叫做進行一次試驗（trail）。

提示：有的高中教科書默認頻率當試驗次數增大時會趨近於概率，並將這個趨近值直接定義為概率。這種先入為主地對基於頻率定義概率的做法並不符合目前占主流的頻率學派（frequentist school）的觀點。

提示：從文字本義來說，試驗（trial）是嘗試性的過程，和驗證性的實驗（experiment）是不同的概念。

顯而易見，頻率的數值穩定性是估算概率的前提。它啟發我們當頻率的取值總是接近一個唯一的數值時，就將其取為概率。使用頻率代替概率是有條件的，只有當試驗次數足夠多時，頻率才有可能接近概率，當然這個想法也需要嚴格證明。如果是遇到不太穩定的頻率，單憑一個近似化的想法也是無法很好地估計概率的。這個可以證明的結論被叫做大數定理。由於目前的知識鋪墊還不充分，我們會等到在大數定律與蒙特卡羅方法一節中再作正式介紹。

提示：生產和生活中事件頻率的穩定性是一種經驗之談。如無特殊說明，不應該假定物理世界中所有事件的頻率一定具有穩定性，也不能說頻率不穩定的事件不能算作隨機事件。出於許多方便性和實用性的考慮，數學上只是不去考慮不能用一個確定概率描述的隨機性事件。

頻率有時也用於在難於某些複雜事件難以直接求解出概率或其概率的表達式中存在未知量時，近似地計算出概率。我們從本節開始就會逐漸講到，有很多經典的蒙特卡羅方法就是從這個思路去想的。不過先提一句，利用頻率估計概率利用了數形結合思想，做法簡單直接，但也是效率很低的做法，是不得已時（比如用於計算概率的理論公式還沒找到或者形式非常複雜）才會考慮的辦法。

古典概率模型

皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace，1749年－1827年）是法國的大數學家，他以在數學和天體力學的成就聞名。他也是機械式宇宙決定論或稱為物理決定論（physical determinism）的宣揚者，即篤信憑藉足夠準確的數學方程和初始條件即可以推算出宇宙的一切過去和未來。為闡明自己的宇宙決定論，他還提出了拉普拉斯妖怪的概念。

法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾在1812年給出了現在被稱為古典概率模型的早期概率定義：

滿足下列條件的概率問題稱為古典概率模型（classical model of probability）或簡稱為古典概型：

• 試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；
• 每個基本事件出現的可能性相等。

在古典概率模型中，所有的可能情況為離散、有限多個的。反過來，所有情形離散、總數量有限的問題都可以視作古典概率模型問題處理。

關於古典概率模型的事件概率計算，有如下容易理解的規定：

如果一次試驗中最多可能涉及n個基本事件，而且假設所有這n個基本事件的出現可能性都相等，那麼其中每一個基本事件的發生概率都是${\frac {1}{n}}$。此時如果某個事件A包含了m個基本事件，那麼事件A的概率就是$P(A)={\frac {m}{n}}$。

易知在古典概率模型中，有關係式$0\leq P(A)\leq 1$恆成立。

從集合的觀點看，如果把所有基本事件組成一個集合S，包含m個基本事件的事件A就對應於S的含有m個元素的子集A（為了方便把事件A對應的集合也記作A）。如果這些基本事件都可以假設是等可能性的，那麼事件A的概率就是這2集合元素數目的比值：
$P(A)={\frac {card(A)}{card(S)}}={\frac {m}{n}}$

常見的古典概型問題大體有3類：抽球問題、分房間問題、隨機取數問題。

幾何概率模型

人們在幾何學研究中還發現另一種常見的等概率模型，但是因為涉及無窮個基本事件，所以無法直接被算作古典概率模型。

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的幾何度量（例如長度、面積或體積）成比例，這樣的概率模型稱為幾何概率模型（geometric model of probability）或簡稱為幾何概型。

在幾何概率模型中，事件A的概率計算方法如下：

P(A) := 構成事件A的區域的度量值$\div$試驗涉及的全部結構所構成的總的度量值

在幾何概率模型中，所有的可能情況為連續、無限多個的。反過來，所有情形連續、總數量無限的問題都可以視作幾何概率模型問題處理。

相關例題： 針對下列說法，試着分別舉出一個例子：

(1) 概率為0的事件不一定是不可能事件。

(2) 概率為1的事件不一定是必然事件。

注意：敘述不清晰的幾何概率問題很可能容易引發歧義。我們會在伯特蘭悖論與公理化概率論簡介一節中介紹伯特蘭悖論這個著名的例子。

注意：實際上不是所有點集的長度、面積、體積的概念都是有意義的。在現代概率論中，我們使用測度的概念為長度、面積和體積下嚴格定義，並會試圖證明有測度不存在的點集。這暗示不是所有的點集問題都是有意義的概率問題。

補充習題

• 舉出一個既不是純粹古典概率模型，也不是純粹幾何概率模型的概率問題。

外部連結

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擲硬幣