理論力學/廣義坐標

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理論物理學最基本的任務是求解物理系統隨時間演化的規律。換言之,給定一個系統當前時刻的狀態,如何推測這個系統在之後任意時刻的狀態。本書講述經典力學的方法,也將在經典的層面上回答以上這個問題。

那麼,如何在經典力學層面上確定一個系統當前的狀態呢?對任意一個物理系統,我們都可以先驗地假定,任意時刻其在空間中的分佈狀況都為一組彼此獨立的物理量所確定,這組物理量被稱為系統的動力學變量。系統的動力學變量的數目被稱為系統的自由度。對於一個自由粒子構成的系統來說,粒子在三維空間中的坐標(x,y,z)(又稱為笛卡兒坐標)唯一地確定了該系統在空間中的分佈。因而這個系統的自由度數為3,粒子的坐標可以作為系統的動力學變量。事實上,對於這個系統而言,任意彼此獨立的函數X=X(x,y,z),Y=Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z)都唯一確定了粒子在空間中的位置,它們同樣可以作為這個系統的動力學變量。例如,就是滿足這樣要求的一組函數,它們被稱為極坐標。更一般地,對於N個粒子構成的系統,可以用這N個粒子的笛卡爾坐標作為系統的動力學變量,同時,任意3N個關於這些笛卡爾坐標獨立函數都可以作為系統的動力學變量。通常,有限個自由度的系統的動力學變量可以視作「推廣了的」笛卡爾坐標——廣義坐標。

在後續的課程中,我們還會處理一類具有大量自由度,甚至不可數無窮個自由度的系統——場。例如,在經典電動力學中,我們會研究連續時空中的電磁場系統。對一個連續時空中的場,可以在空間中的每個點定義一個場勢,不同點的場勢可以視作獨立的動力學變量,如此一來,場系統便具有不可數無窮個自由度。

在給定的時刻,確定了系統的動力學變量的數值(或函數形式,對於場系統),也就確定了系統該時刻在空間中的分佈,然而這並不足以確定系統隨時間的演化。t=0時刻一個處於原點的自由粒子,在未來可以沿着任意一條直線作勻速直線運動,具體作何運動取決於粒子在該時刻的速度。在這裏,我們同樣是先驗地假定,對於任意的物理系統,都存在着一個由所有動力學變量,它們隨時間的一階導數,和時間確定的函數(或泛函,對於場系統)L。經典力學的基本原理可以被表述為:系統隨時間的演化令L滿足哈密頓原理。這個函數被稱為系統的拉格朗日函數,簡稱為拉格朗日量或拉氏量。在下一章中,我們將敘述哈密頓原理,並由此推導動力學變量隨時間演化的方程式。

「拉氏量是動力學變量,其對時間一階導數和時間的函數」的假定意味着,給定系統動力學變量的數值,以及它們隨時間的變化率,系統的演化規律就被完全確定下來了。這一點當然不能得到理論上的嚴格證明,而應被理解為基本原理的一部分。但是,我們可以從一些角度去嘗試「理解」這一假定。例如,假設一個系統的拉氏量依賴於動力學變量對時間的二階導數,我們將發現系統的能量沒有下界,因而在物理上是不允許的。這一矛盾的結果被稱為奧斯特羅格拉德斯基不穩定性。

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