統計學/獨立樣本四格表資料的χ²檢驗

χ²檢驗可以用於檢驗兩個樣本的總體頻率分佈是否相同。

2×2列聯表χ²檢驗的基本思想

表1 獨立樣本資料的四格表

組別	屬性		合計
	Y1	Y2
甲	a（T11）	b（T12）	n1=a+b（固定值）
乙	c（T21）	d（T22）	n2=c+d（固定值）
合計	m1=a+c	m2=b+d	n=a+b+c+d

這樣的數據形式稱為2×2列聯表（2×2 contingency table）。因為此表格的基本數據分佈在a、b、c、d四個格子中，故又稱之為四格表。
在假設H₀成立的條件下，表1中的兩樣本的總體分佈相等。由於總體分佈未知，用兩樣本聯合計算的頻率分佈作為總體分佈的近視：屬性Y₁的理論頻率近似地等於m₁/n，屬性Y₂的理論頻率近似地等於m₂/n。
於是，H₀成立的條件下，四格表中每一格相應的理論頻數分別近似地等於
T₁₁=$n_{1}\left({\frac {m_{1}}{n}}\right)$=${\frac {n_{1}m_{1}}{n}}$,T₁₂=$n_{1}\left({\frac {m_{2}}{n}}\right)$=${\frac {n_{1}m_{2}}{n}}$
T₂₁=$n_{2}\left({\frac {m_{1}}{n}}\right)$=${\frac {n_{2}m_{1}}{n}}$,T₂₂=$n_{2}\left({\frac {m_{2}}{n}}\right)$=${\frac {n_{2}m_{2}}{n}}$
一般地，理論頻數T_ij的計算公式為
T_ij=${\frac {n_{i}m_{j}}{n}}$（i=1,2;j=1,2）[1]
式中n為總例數，n_i是第I行的合計數，m_j是第j列的合計數。
如果H₀成立，當觀察個數n較大時，樣本觀察頻數與理論頻數應當相去不遠。每一格的樣本觀察頻數A_ij與理論頻數T_ij之間的差異，可運用下面的式[2]計算統計量χ²來衡量。
χ²=$\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\frac {(A_{ij}-T_{ij})^{2}}{T_{ij}}}$（i=1,2;j=1,2）[2]
可以證明，H₀成立時，統計量χ²近似服從自由度為v=1的χ²分佈。自由度的計算公式為：v=（行數-1）×（列數-1）。