高中數學/函數與三角/函數常見性質的綜合問題

閱讀指南

本節介紹二次函數的性質分析、恆成立問題、存在性問題等考試中常見的考點，以及考察函數的多種性質的綜合問題。其中對方程或不等式的解存在性的解答思路也是後續學習內容二分法可行性的基礎。

無應試需要的讀者可以適當跳過本節內容。

基礎知識

二次函數的局部單調性及含參問題

在涉及二次函數的考試題目中，比較麻煩的是包含未知參數並將變量的取值範圍限定在指定區間內的問題，經常會涉及分類討論或數形結合的方法。

相關例題1： 已知二次函數$f(x)=x^{2}-2x-4$在區間[-2, a]上的最小值為-5，最大值為4，求實數a的取值範圍。

相關例題2： 已知二次函數$f(x)$滿足$f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1$，求$f(x^{2}+1)$的最小值。

相關例題3： 已知函數$f(x)$為二次函數，不等式$f(x)<0$的解集是(0, 5)，且$f(x)$在區間[-1, 4]上的最大值為12。
(1) 求$f(x)$的解析式。
(2) 設函數$f(x)$在[t, t+1]上的最小值為$g(t)$，求$g(t)$的表達式。

相關例題4： 已知關於x的方程$(m+1)x^{2}+2(2m+1)x+1-3m=0$的2個根為$x_{1}$、$x_{2}$，若$x_{1}<1<x_{2}<3$，求實數m的取值範圍。

恆成立與存在性問題

恆成立問題一般都可以轉化為最值問題。尤其是考試最常考的包含一個變量x和一個參數a的等式或不等式的恆成立問題，都可以通過將變量和參數分離到等式或不等式兩端的方法，轉換為2個函數$g(x)$和$h(x)$的最值比較問題。

存在性問題則一般需要利用函數的單調性，並通過數形結合的思想求解。通過保證單調性和檢查區間端點的函數值，就可以確定存在性條件。

相關例題1： 若關於x的不等式$|x-4|+|x+3|<a$有實數解，求實數a的取值範圍。

相關例題2： 若$\forall x\in (0,{\frac {1}{2}}]$，都有不等式$-x+a+1\geq 0$成立，求a的最小值。

相關例題3： 已知函數$f(x)=-x^{2}+4x+m$，若$\exists x\in [0,1],f(x)=0$，求m的取值範圍。

相關例題4： 已知函數$f(x)=ax^{2}-4ax+b\quad (a>0)$在區間[0, 1]上有最大值1和最小值-2。
(1) 求a和b的值。
(2) 若在區間[-1, 1]上，不等式$f(x)>-x+m$恆成立，求實數m的取值範圍。

相關例題5： 已知函數$f(x)={\frac {x-1}{x+2}},\quad x\in [3,5]$。
(1) 判斷並證明$f(x)$的單調性。
(2) 若不等式$f(x)>a$在[3, 5]上恆成立，求實數a的取值範圍。
(3) 若不等式$f(x)>a$在[3, 5]上有解，求實數a的取值範圍。

相關例題6： 已知函數$g(x)=ax^{2}-2ax+1+b\quad (a>0)$在區間[2, 3]上有最小值1和最大值4。設$f(x)={\frac {g(x)}{x}}$。
(1) 求a和b的值。
(2) 若不等式$f(x)-kx-4\leq 0$在$x\in [-1,0)$時恆成立，求實數k的取值範圍。

函數性質的綜合問題

相關例題1： 已知函數$f({\sqrt {x}}+2)=3x+{\frac {1}{x}}+2$，函數$g(x)=1-2x+{\sqrt {x+2}}$。
(1) 求$f(x)$的解析式，並寫出其定義域。
(2) 求$g(x)$的值域。

相關例題2： 已知函數$f(x)$對任意的實數a和b都有$f(a+b)=f(a)+f(b)$，且當$x>0$時，有$f(x)>0$。
(1) 求證：$f(x)$在$\mathbb {R}$上是增函數。
(2) 求證：$f(x)$在$\mathbb {R}$上是奇函數。
(3) 若$f(1)=1$，解不等式$f(x^{2})-f(x+2)>4$。

補充習題