高中數學/微積分初步/極限

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

極限理論本來是獨立的數學分支，由它產生出了微分學和積分學2個重要數學分支。後來微積分基本定理誕生後，微分和積分之間的內在聯繫被打通，極限、微分、積分這些理論從此都成為微積分學的一部分。

在高中教科書中，函數的極限有兩種引入方法。在難度較淺的高中課本中，一般是通過實際問題舉例和直觀聯想，直接引入函數的極限。而中等及以上難度的高中教材一般會先講數列的極限，然後再過渡到函數的極限。例如中國大陸人民教育出版社2004年版的《高中數學》第3冊選修Ⅰ（針對文史藝體學生）就是直接介紹和使用導數；而對應的第3冊選修Ⅱ（針對理工學生）則是先講數列的極限，然後再過渡到函數的極限。為突出微積分的應用價值，我們選擇將數列的極限劃入單獨的章節以供選學（參見數列的極限），而把函數的極限作為主幹知識儘早地直接引入。當然，對於有需要的讀者，也可以先看閱讀數列的極限知識，再閱讀本節內容。

對於極限定義的嚴格性方面，我們在本節沒有使用嚴格化的$\epsilon -\delta$語言（(ε, δ)-definition of limit）來定義和驗證極限。主要原因還是由於這一套語言並不直觀易懂，對於初學者（特別是對於文史藝體類的學生）來說，學習的難度大，而在解決實際問題中發揮的用途少，高中階段的考試也不會考，所以學習性價比有限。學習嚴密的數學體系並不滿足未來走上社會的每一個人的實際需要，大多數人能學習到數學中有用、夠用的部分也就足夠了。高中階段教授微積分的主要原因只是培養對微積分的直觀認識，了解它能幹什麼、適合解決什麼問題，將其作為銜接中學和大學的預科課程，減緩後續大學數學課程的學習梯度。對於有更多需求的讀者，在後續的大學課程中，也還有的是機會學習更精深的數學理論。此外，早期的微積分也是在還沒有出現這套嚴格定義的情況下，成功得到了許多重要結果。大多數高中數學教科書也是基於類似的理由，以更直觀、速成的視角來規定和使用極限。

基礎知識

鄰域與函數極限的樸素概念

我們稱呼數軸上包含點a的一個開區間$(a-\delta ,a+\delta )$為點a的一個半徑為$\delta$的鄰域（neighbourhood（英式拼寫）或neighborhood（美式拼寫）），簡稱為點a的鄰域。

當自變量x無限趨近於常數a（但x不等於a）時，如果函數f(x)無限趨近於一個常數A，我們就稱當x趨近於a時，函數f(x)的極限（limit）是A，並記作「$\lim _{x\to a}f(x)=A$」或「當$x\to a$時，$f(x)\to A$」。此時$\lim _{x\to a}f(x)$也叫做函數f(x)在點x = a處的極限。

類似地，也可以仿照數列極限的定義，定義函數在無窮遠處的極限。例如當自變量x取正數值並且無限增大時，如果函數f(x)無限趨近於一個常數a，就是當x趨向於正無窮大時，函數f(x)的極限是a，並記作「$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A$」或「當$x\to \infty$時，$f(x)\to A$」。同樣也可以定義函數在負無窮大處的定義，此處不再贅述。

提示：(1)函數在某點處取得極限值A，也可以叫做函數在該點處收斂（convergent）於A。(2)函數值如果在某處趨近於正無窮大，我們就稱這個函數發散（divergent）於正無窮大；類似地，也有函數發散於負無窮大的說法。

區間上連續函數的正式定義及其性質

如果函數f(x)在點x = a及其附近有定義，且$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$，我們就稱函數f(x)在點a處是連續的（ function f is continuous at the point c）。如果函數f(x)在開區間(a, b)內的每一點都是連續的，那麼我們就稱函數f(x)在(a, b)內是連續函數（continuous function），或者說f(x)是開區間(a, b)內的連續函數。

同理，也可以按類似方式定義其它類型區間（閉區間或半開半閉區間等）上的連續函數。

提示：我們先前還沒有為給何為極限下一個嚴格意義上的定義，所以即使這裏給出了函數連續性的嚴格定義，這個定義對於論證函數的連續性其實也沒有什麼大的幫助。

由於在高中階段幾乎不會接觸到圖象奇形怪狀的病態函數，我們為簡明起見，可以把連續函數粗略理解為圖象連續的函數。無論是從上述文字定義，還是從對圖象連續性的直觀感覺，都不難理解有下列結論：

有關函數連續性的一些基本結論：

• 對於在定義域上連續的函數f(x)有（假定t在f(x)的定義域中）：

$\lim _{x\to t}f(x)=f(t)$

• 連續函數的複合後仍然是連續函數。特別地，連續函數的和、差、積、商在其新定義域內也是連續函數。
• 閉區間上的連續函數一定有最大值點和最小值點。這個結論也叫做最大值/最小值定理，或魏爾施特拉斯第二定理。

單側極限

如果強調函數的自變量只能沿點a鄰域中的左側或右側趨近於點a，那麼以這樣單側趨近的方式計算的極限值叫做單側極限（one-sided limit）。其中，從左邊鄰域趨近指定點的極限叫做左極限（left-sided limit），記作$\lim _{x\to a^{-}}f(x)$；從右邊鄰域趨近指定點的極限叫做右極限（right-sided limit），記作$\lim _{x\to a^{+}}f(x)$。

換句話說，如果我們籠統地說一個函數在某點處存在極限，一定包含2層含義：

1. 函數在指定點同時存在左極限和右極限。
2. 函數在指定點的左極限和右極限相等。

也即$\lim _{x\to a}f(x)=A\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\lim _{x\to a^{+}}f(x)=A$。

提示：我們默認自變量只能從其定義域內趨近指定的點，因此$\lim _{x\to 0}\ln x=-\infty$這種式子是有意義的，而且肯定是當作單側極限去理解。

極限的運算法則與未定式

函數的極限有下列運算法則：

設函數f(x)與g(x)在x趨近於t時分別有極限值$\lim _{x\to t}f(x)=A,\lim _{x\to t}g(x)=B$，則一定也存在下列極限：

${\begin{array}{l}\lim \limits _{x\to t}(f(x)\pm g(x))=(\lim \limits _{x\to t}f(x))\pm (\lim \limits _{x\to t}g(x))=A\pm B\\\lim \limits _{x\to t}(f(x)\cdot g(x))=(\lim \limits _{x\to t}f(x))\cdot (\lim \limits _{x\to t}g(x))=A\cdot B\\\lim \limits _{x\to t}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to t}f(x)}{\lim \limits _{x\to t}g(x)}}={\frac {A}{B}}\quad (B\neq 0)\end{array}}$

當自變量趨於0時，取值也趨於0的量叫做無窮小量（infinitesimal）。當自變量趨於0時，取值趨於正無窮大或負無窮大的量叫做無窮大量。

極限算式中無法直接判斷極限的量叫做未定形式（indeterminate form），簡稱為未定式。未定式可能有極限，也可能不存在極限，一般需要根據實際情況變形、化簡，直到可以計算或判斷出答案為止。

高中階段常見的未定式一般包含如下情形：

• 2個無窮大量的差
• 2個無窮大量的商或2個無窮小量的商
• 1個無窮大量與1個無窮小量的乘積

提示：一個有趣的事實是無窮多個無窮小量的乘積不一定是無窮小量。能舉出來的例子有點難懂，有興趣的讀者可參見有關無窮的某些常見爭論一節的討論。這個事實不是本節的重點（甚至也不是高中數學的考點），所以就不在這裏展開講了。

三明治定理與2個重要極限簡介

夾擠定理/三明治定理：如果在點a的附近，對於3個函數f(x)、g(x)和h(x)始終有不等式$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，且$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=A$，那麼一定有$\lim _{x\to a}g(x)=A$。

結合正弦函數的單位圓定義，由圖象特點和上述三明治定理可知$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$。

此外，我們嚴格定義常數e的值為$e:=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}$。這個常數e就是自然對數符號中的底數。

提示：(1)e的常見定義不只這一種做法。(2)要通過這種方式定義一個常數，首先需要證明這個極限值是存在的。至於這個極限的存在性可以參見數列極限一節中的相關討論，此處不再做過多說明。心急的讀者可以先將其作為可以證實的事實記下來，後面有時間再去查看論證細節。

我們將上述2個重要極限總結如下：

極限論中的2個重要極限（注意其中1個是在0處取得極限，另1個是在正無窮大處取得極限）：

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$（由正弦函數的圖象性質而來。）
• $e:=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}$（可作為常數e的定義，但其極限的存在性需要論證。）

連續複利

常數e的一個常見含義就是基礎金融學中複利公式的細分極限。我們在數列極限一節中有做相關討論，為方便讀者學習，我們將其中的關鍵內容摘錄過來。

假定一家銀行限定存款的年利率為10%，某客戶最初存款數額為1元。如果銀行計劃每年支付n次利息，每次支付的利息率按10%的n分之一計算，每次所支付的總金額（本金+利息）能當作新的本金計入下一輪的利息計算，那麼滿一年後客戶的存款這種按這種複利方式計算後的結果為：

$1\times (1+{\frac {10\%}{n}})^{n}$

當一年內的複利間隔劃分次數m趨近無窮大的時候（所取的時間間隔由離散化趨近於連續化），所得的連續化複利結果就是包含e的極限值：

$\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {0.1}{n}})^{n}=\lim _{n\to \infty }((1+{\frac {1}{10n}})^{10n})^{\frac {1}{10}}=(\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{10n}})^{10n})^{\frac {1}{10}}=(\lim _{k\to \infty }(1+{\frac {1}{k}})^{k})^{\frac {1}{10}}=e^{\frac {1}{10}}={\sqrt[{10}]{e}}$

常用結論與常見模型

無窮的比較

為解決不同無窮小量之間的比較問題，常使用在極限意義下等價的無窮小量（equivalent infinitesimal）作替換。我們用符號$\sim$來表示2個無窮小量之間的等價替換關係。例如當x趨近於0時，有$\sin x\sim x$。可以整體地替換一個無窮小量，也可以只根據需要替換其中的一部分因子。

當x趨近於0時，最常用的幾組等價無窮小：

• $\sin x\sim x$
• $1-\cos x\sim {\frac {1}{2}}x^{2}$
• $\ln(1+x)\sim x$
• $a^{x}-1\sim x\ln a\quad (a>0,a\neq 1)$
• $(1+x)^{a}-1\sim ax$

當x趨近於0時，其它相關等價無窮小（其中部分式子的由來可能需要藉助後面才講到的洛必達法則和泰勒展開公式來說明）：

• $\tan x\sim x$
• $\arcsin x\sim x$
• $\arctan x\sim x$
• $e^{x}-1\sim x$
• $(1+bx)^{a}-1\sim abx$
• $\log _{a}(1+x)\sim {\frac {x}{\ln a}}\quad (a>0,a\neq 1)$
• $\tan x-\sin x\sim {\frac {1}{2}}x^{3}$
• $\tan x-x\sim {\frac {1}{3}}x^{3}$
• $x-\arctan x\sim {\frac {1}{3}}x^{3}$
• $x-\sin x\sim {\frac {1}{6}}x^{3}$
• $\arcsin x-x\sim {\frac {1}{6}}x^{3}$
• $\ln(x+{\sqrt {1+x^{2}}})\sim x$

補充習題

參見

• 數列的極限
• 有關無窮的某些常見爭論
• 洛必達法則

外部連結

維基百科中的相關條目：

鄰域

維基百科中的相關條目：

函數極限

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未定式

維基百科中的相關條目：

無窮小量

維基百科中的相關條目：

夾擠定理

維基百科中的相關條目：

漸近線