高中物理/力與運動/動量守恆定律

動量守恆定律

在相互作用的若干個物體（至少有兩個物體）的一個系統中，如果一個系統不受外力或者向量和為零，則該系統的總動量保持不變。

公式： $p = p^{'}$ （通式）
$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v 1^{'} + m_{2} {v_{2}}^{'}$ (在一維空間內的兩物體）

PS：外力：Eg：拉力，電場力等

PS2：向量和為零：eg：在一個只受重力和向上的彈力的二力平衡的物體上，重力和彈力向量和為零。

牛頓第三定律與動量守恆定律

牛頓第三定律說，假設有兩個相互作用的質點，質量可能不同，它們之間的相互作用力的大小相等，方向相反，在同一直線上。現在我們假設這兩個質點只存在質點間的相互作用，由於作用力等於動量隨時間的變化量，所以質點1受到質點2的作用力 ${\vec{F}}_{21}$ 與質點1的動量 ${\vec{p}}_{1}$ 的關係為：

${\vec{F}}_{21} = lim_{Δ \to 0} \frac{Δ {\vec{p}}_{1}}{Δ t} = \frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t}$

同理，質點2受到質點1的作用力 ${\vec{F}}_{12}$ 與質點2的動量 ${\vec{p}}_{2}$ 的關係為：

${\vec{F}}_{12} = lim_{Δ \to 0} \frac{Δ {\vec{p}}_{2}}{Δ t} = \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t}$

由於 ${\vec{F}}_{21} = - {\vec{F}}_{12}$ ，則有

$\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} = - \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t}$

即

$\frac{d ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2})}{d t} = 0$

也就是說， ${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$ 不隨時間變化，是一個定值，即

${\vec{p}}_{1 t} + {\vec{p}}_{2 t} = {\vec{p}}_{10} + {\vec{p}}_{20}$

如果將上述結論推廣到多個相互作用的質點系，那麼在沒有來自系統外的外力或者系統所受合外力為零時，所有質點的總動量不變，這稱為動量守恆定律（Law of Conservation of Momentum）

動量守恆的內涵

動量守恆定律與牛頓運動定律在經典力學中是密切相關的，它們從不同角度反映了運動物體的相互作用的規律。牛頓定律從相互作用力的角度進行表述，動量守恆定律則從物體間相互作用時發生「運動量」的轉移來表述。以兩個物體組成的系統為例，當系統所受外力的向量和恆為零時，動量守恆定律給出 $m_{1} v_{1 t} + m_{2} v_{2 t} = m_{1} v_{10} + m_{2} v_{20}$ ，前式可改寫為 $m_{1} v_{1 t} - m_{1} v_{10} = - (m_{2} v_{2 t} - m_{2} v_{20})$ 。這表明，由於物體間相互作用力（物體系的內力）的存在引起動量的傳遞，一個物體動量的增加量一定等於另一個物體動量的減少量，系統的總動量守恆。如果從力的觀點看，這是由於兩物體間的相互作用力互為作用力和反作用力，它們的大小相等、方向相反，且同時存在和消失，因而它們的衝量等值反向，導致雙方的動量變化等值反號。從這裏可以看出，內力雖不能使物體系的總動量發生變化，確實決定系統內各物體動量變化的重要因素。
動量守恆的條件是外力的向量和（即合外力）恆為零，在此條件下在任何時間間隔內外力的衝量的向量和必為零，在任何時間間隔內物體系動量的變化量為零。不能把動量守恆的條件理解成「外力的衝量的向量和為零」。衝量是與力的作用時間相關聯的物理量，在某個持續一段時間的過程中某物體系所受的衝量和（向量和）可能等於零，因而物體系在此過程開始時刻的動量與終了時刻的動量相等，但在過程進行中各個時刻的動量可能在變化而並非保持不變，因而不能說動量守恆。
動量守恆定律所表述的是一個向量關係。物體系中每個物體的動量不為零時，它們的向量和可以等於零。例如，一顆靜止於空中的炸彈被引爆後，彈片向四面八方飛出，在忽略重力和空氣阻力時（在打擊、碰撞和爆炸等過程中出現的衝擊力比重力、空氣阻力等大得多，所以後者可忽略不計），在爆炸過程中沒有外力，動量守恆，炸彈初動量為零，因而有 $0 = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\vec{v}}_{i}$ 。右方為各炸彈碎片動量之和，顯然各碎片的動量不等於零，但它們之和為零。動量守恆，就是它的大小和方向都不變，因而動量在各方向的分量也保持恆定。如在三維直角坐標系中，動量守恆定律可表為 ${\begin{matrix} \sum m_{i} {\vec{v}}_{i x} = c o n s t \\ \sum m_{i} {\vec{v}}_{i y} = c o n s t \\ \sum m_{i} {\vec{v}}_{i z} = c o n s t \end{matrix}$ 。特別應該注意的是，這些分量守恆的公式還有其獨立的意義。如果外力之和不等於零，這時物體系的動量本應不守恆，但若外力沿某一方向的分量的代數和為零，則沿該方向的分動量仍守恆。
動量的大小與參考系的選擇有關，那麼動量守恆定律成立與是否與參考系有什麼關係？我們知道，牛頓定律在一切慣性參考系中都成立，而且由牛頓定律可以推導出動量守恆定律，所以動量守恆定律在一切慣性參考系中都是成立的。不過，在運用動量守恆定律處理問題時，涉及的各物體的速度都必須時相對於同一慣性系的速度。
動量守恆定律成立的條件是合外力為零，也就是說這個質點系是個沒有外界作用的孤立系統。但現實世界中沒有嚴格意義上的孤立系統，所以在處理實際問題時，若內力遠大於外力，即使系統受到的合外力不為零，我們仍可以把它當做合外力為零處理，動量守恆定律成立。例如遇到碰撞、爆炸等時間極短的問題時，可忽略外力的衝量，系統動量近似守恆。
動量守恆定律不僅適用於低速運動的宏觀物體，而且適用於接近光速運動的微觀粒子的相互作用。例如在牛頓定律不完全適用的領域內，如量子力學、相對論、甚至於有動量而無靜質量的電磁場系統，動量守恆同樣成立。因此，一般認為動量守恆定律是一條基本規律，它比牛頓定律具有更大的普遍性。

正碰撞

完全彈性碰撞

設質量分別為 $m_{1}, m_{2}$ 的兩個平動物體（不妨設為兩個平動的小球），碰前速度分別為 $u_{1}, u_{2}$ ，碰後速度為 $v_{1}, v_{2}$ 。兩物體的碰撞通常在極其短暫的時間內完成，相互作用極其猛烈。在碰撞過程中，或無外力作用，或受到有限大小的外力作用，但因作用時間極短，有限外力的衝量可以忽略不計，體系動量守恆。

如果碰前兩小球速度 $u_{1}, u_{2}$ 沿兩球中心的連線，這種碰撞稱為正碰撞。在碰撞情況下，碰後兩小球的運動速度方向仍沿連線方向。在正碰撞時，小球的速度只需用代數值表示其大小和方向。在碰撞的短時間 $Δ t$ 內，兩小球首先相互接觸，接着相互擠壓，兩球分別產生形變和試圖回復形變的力，在 $u_{1} > u_{2}$ 的階段中， $u_{1}$ 減小， $u_{2}$ 增大，直至變為同一速度 $w$ ，達到最大壓縮狀態，這個階段稱為壓縮階段。隨後，由於兩小球形變逐漸恢復， $m_{1}$ 速度繼續減小， $m_{2}$ 速度繼續增大，兩小球速度分別達到 $v_{1}, v_{2}$ 後相互分離，這個階段稱為恢復階段。

兩小球碰撞過程動量守恆，有方程

$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} (1)$

如果碰撞是彈性的，還有動能守恆方程

$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} (2)$

聯立(1)(2)解得

${\begin{matrix} v_{1} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{1} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{2} \\ v_{2} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} u_{1} - \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{2} \end{matrix}$

需要注意的是，原方程式二次方程，應該有兩個解，但另一組解就是初始值，應該捨去。當然，如果我們反過來思考，兩個物體初速度為 $v_{1}, v_{2}$ ，也能解得兩個物體末速度為 $u_{1}, u_{2}$ 。由此，得出結論：完全彈性正碰撞是一種可逆碰撞。

我們也可以通過將原方程化簡，過程中自動捨去了這一組解。將原方程組化成

${\begin{matrix} m_{1} (u_{1} - v_{1}) = m_{2} (v_{2} - u_{2}) (3) \\ m_{1} (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}) = m_{2} (v_{2}^{2} - u_{2}^{2}) (4) \end{matrix}$

(4)/(3)得

$u_{1} - u_{2} = v_{2} - v_{1} (5)$

即碰前接近速度等於碰後分離速度。所以我們也常常聯立(1)(5)來解分離後速度 $u_{1}, u_{2}$ 。

若 $m_{1} = m_{2}$ ，則 $v_{1} = u_{2}, v_{2} = u_{1}$ ，即彈性正碰中，兩質量相等的求碰撞後彼此交換速度。

在被加速了的粒子對靶粒子的實驗中，常常認為靶粒子是靜止不動的，即 $u_{2} = 0$ 。在這種情況下有重要結論：

當 $m_{1} > m_{2}$ 時， $v_{1} > 0$ ，入射粒子碰後仍向前運動。極限情形下，即 $m_{1} ≫ m_{2}$ 時， $v_{1} \approx u_{1}, v_{2} \approx 2 u_{1}$ ，擊打球幾乎保持碰前速度前進，而原靜止小球以兩倍於打球的速度前進。
當 $m_{1} < m_{2}$ 時， $v_{1} < 0$ ，入射粒子碰後反向運動。極限情形下，即 $m_{2} ≫ m_{1}$ 時， $v_{1} \approx - u_{1}, v_{2} \approx 0$ ，即碰後被打球幾乎不動個，小球以與碰前相等的速率返回。
當 $m_{1} = m_{2}$ 時， $v_{1} = 0, v_{2} = u_{1}$ ，即兩球交換速度。

類彈性碰撞問題

碰撞的特徵是相互作用時間短暫，作用力大。然而在有些物理問題中，兩物體相互靠近，之後又逐漸遠離的現象。當物體構成系統所受合外力為零時，我們也可以把這類問題當做相互作用時間較長的碰撞問題，我們把這種問題叫做類碰撞問題。

例子：

光滑水平面上的A物體以速度v去撞擊靜止的B物體，A、B兩物體相聚最近時，兩物體的速度必定相等，此時彈簧最短，其壓縮量最大。
質量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切，一個質量為m的小球以速度 $v_{0}$ 向滑塊滾來。設小球不能越過滑塊，則小球到達滑塊上的最高點時（即小球豎直方向上速度分量為零），兩物體速度相等，方向均水平向右。