Maple/微分

Maple 微分

• Maple 的f 對x 的微分用 f' 或 diff(y,x) 表示。

Maple 的微分運算，可以方便地求出複雜的函數的微分。

• Diff算子，只顯示書寫形式，不作計算：

Diff(q,x,y,z);

${\frac {\partial ^{3}}{\partial x\partial y\partial z}}q$

• 也可以用

diff(x(t),t$5) 表示${\frac {d^{5}x(t)}{dt^{5}}}$

常微分

diff(5x^18,x);

$90*x^{1}7\,$

diff(ax,x);

$0\,$

diff(ax,ax)

$1\,$

diff(a*x^2,x);

$2a*x\,$

h := (sin(2*x-1)^2)^(3/2);

diff(h,x);

$6*{\sqrt {(}}sin(2*x-1)^{2})*sin(2*x-1)*cos(2*x-1)$

y :=${\sqrt {(}}sin({\sqrt {(}}x)))$;

$y'=(1/4)*cos({\sqrt {(}}x))/({\sqrt {(}}sin({\sqrt {(}}x)))*{\sqrt {(}}x))$

y :=${\sqrt {(}}sin({\sqrt {(}}x))^{2}/(1+cos(x)))$

$y'=(1/2)*(sin({\sqrt {(}}x))*cos({\sqrt {(}}x))/((1+cos(x))*{\sqrt {(}}x))+sin({\sqrt {(}}x))^{2}*sin(x)/(1+cos(x))^{2})/{\sqrt {(}}sin({\sqrt {(}}x))^{2}/(1+cos(x)))$

偏微分

$f:=x^{5}*y^{6}*z^{7}$ $diff(f,x)=5*x^{4}*y^{6}*z^{7}$ $diff(f,y)=6*x^{5}*y^{5}*z^{7}$ $diff(f,z)=7*x^{5}*y^{6}*z^{6}$ $diff(f,x,y,z)=210*x^{4}*y^{5}*z^{6}$ $q:=cos(x^{2})$*$exp({\sqrt {(}}y))$*$ln(tan(z))$ $diff(q,x,y,z)=-sin(x^{2})*x$$exp({\sqrt {(}}y))$*$(1+tan(z)^{2})/$${\sqrt {(}}y)$*$tan(z))$

微分的應用

費馬原理：光程為極值（最小，最大，拐點）

光在平面的反射

光在平面上的反射

平面反射的光程

光從P點出發射向x點，反射到Q點。

光從P點出發射向x點，反射到Q點。

P 點到 x點的距離 =$d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$

Q 點 到 x 點的距離=$d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}$

從點P到點Q的光程 D 為

$D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}$ 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是極值，即 $D$ 對 $x$ 的導數為零： 利用Maple,可以方便地求出D對x的微分：

$D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$$+{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0$ 。

其中

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}$

${\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}$ 。

即

$\sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0$

$\theta _{1}=\theta _{2}$

這就是反射定律

設l =30

圖示反射光程隨 X 的變化，當x= 15 時，顯然光程最短。

光的球面反射

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點P。

R=5 半圓鏡的反射點在圓的頂點，光程最長=2.82R

球面的半徑=R

光線從直徑一端Q射向球面，反射到直徑另一端P

光程$D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}$

因$y^{2}=R^{2}-x^{2}$;

所以

$D={\sqrt {2*R^{2}+2*x*R}}+{\sqrt {-2*x*R+2*R^{2}}}$

根據費馬原理， D'=0

利用Maple,可以方便地求出D對X的微分：

$D'={\frac {R}{\sqrt {2*R^{2}+2*x*R}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2*x*R+2*R^{2}}}}=0$

解之，

solve(D'，x);

得 $x=0$

光程$D=2{\sqrt {2}}R$，乃是一個最大值=2.8R；最小值光程是從直徑一端到另一端，光程=2R