初中数学/统计与几率

理论与用途介绍

基本架构

1. 搜集数据
2. 演算
3. 预测

有一点像算命

用途

• 赌博与赌博设计
• 保险，风险管理
• 投资理财：但无法改变“高风险、高获利”的法则
  1. 定存：获利率 < 2% ，只够抵消通货膨胀。
  2. 大型年金：获利率须达 4% ~ 5%，且采复利投资才能平衡。
  3. 股票：长期平均获利率可以到 7%~10% ，但你不知道那一家公司能屹立不倒。
• 几乎每一件事(大数据)
  1. 百货公司

     有一天，百货公司寄了一份婴儿用品型录给你未婚的女儿。你认为这是对你女儿的侮辱，所以怒气冲冲地打电话到百货公司客服部抱怨，请他们以后不要再做这种事了。你抱怨完，却看到女儿兴味盎然地翻著型录，原来她已经怀孕了。

     百货公司比爸爸更早知道女儿怀孕的消息，不是黑色幽默，而是塔吉特(Target)百货真实发生的事件。塔吉特怎么知道顾客怀孕了？说穿了并不神奇，因为该公司设有准妈妈礼物登记处，让准妈妈们登记自己想要的婴儿礼物。由于这份清单等于确知已怀孕的顾客名单，塔吉特便依据名单上的消费纪录，建立起怀孕妇女的购物模式(孕期会购买的商品清单)，再用此模型比对其他客人的消费纪录，找出消费形态类似的顾客，向她们行销相关商品，达成“未卜先知”的结果。运用这个方法，塔吉特多找出了30%的行销对象。

  2. 传染病散布途径：

     Google 在 2008 年推出流感趋势预测，借由统计关键字的搜寻次数，就能预测全球各地的流感疫情发展，不仅资讯更即时，准确率甚至超过政府的预警系统，Google 以此首开大数据(Big data，又称巨量资料)应用到医疗领域的创举，不仅让其他几家搜索引擎纷纷跟进，如中国互联网巨头百度(Baidu)，近日宣布与中国疾病预防控制中心合作，利用大数据预测流感疫情。

     加拿大拜欧迪(Bio Diaspora)公司，是全世界第一家运用大数据(Big Data)技术，结合地理资讯系统(Geographic Information System，GIS)，分析归纳出病毒扩散的途径，绘出一张张“病毒地图”，进而预测出下一个可能爆发大规模感染区域的公司。 来自传染病界、气候学界、生物工程学界等不同领域的专家齐聚在此，严密监控著50多种致命病毒的动向。它是世界卫生组织(WHO)、美国疾管局、欧盟疾管局等全球各地来的求救对象。

  3. 社会风气：若将 Google 搜索引擎与 Twitter 结合，还能精准看出一些社会风气的变化。两位美国经济学家结合两者资讯，发现当《16岁怀孕》和《小妈咪》两部美国影集播放时，青少年怀孕生子数比例大幅降低。
  4. 解除治理走向“暴政”的两大根本限制：透过机器人、物联网、大数据使政府可以得到无限量供应的忠诚武装人员，并且能猜到人民想干什么。

名词

• 样本：搜集起来观察，准备用来演算、推论、预测的数据
• 平均数：所有样本加起来/样本个数
• 众数：样本中出现最多的数
• 中数或中位数：把所有观察值按高低排序，位在正中间的数
  1. 找本班身高的平均数、众数、中位数
  2. 找本班BMI的平均数、众数、中位数
• 大数法则：
  1. 偶然中包含着必然。
  2. 样本数量越多，则其平均就越趋近期望值。
  3. 对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

     

     以掷单个骰子的过程来展示大数定律。随着投掷次数的增加，所有结果的均值趋于3.5(骰子点数的期望值)。在投掷数量较小的时候(左边)会表现得比较不准，当数量变得很大(右边)的时候，它们将会很准。

     本班的丢骰子实验

• 期望值：按理应该出现的值，如
  1. 单颗骰子点数的期望值是1*⅙+2*⅙+3*⅙+4*⅙+5*⅙+6*⅙=3.5
     注意：3.5不属于 1~6 六种可能结果中的任一个，所以期望值不是期望出现的结果。
  2. 彩券奖金的期望值
• 全距：最大数-最小数
• 标准差：
  1. 算出平均值
  2. 所有(样本值-平均值)²加起来
  3. 除以样本个数
  4. 开平方
• 常态分布：<img src='http://jendo.org/files/doc/nd1.php' align=middle />

误用

• 误把独立事件当成不独立事件思考

以台湾历次基测题目来理解观念

1. 算出以下这组数据的平均数、中位数、众数、全距：

   70,70,70,70,80,80,80,80,80,90,90,90,90

   平均数：80

   众数：80

   中位数：80

   全距：20

2. 安安班上有九位同学，他们的体重资料如下(单位：公斤)：

   57，54，47，42，49，48，45，47，50。请求出：

   平均数：48.78

   众数：47

   中位数：48

   全距：15

3. 一袋子中有4个圆球，颜色分别为红、绿、蓝、黑。每一个球被取到的机会相等，若自袋中任取两次球(一次一球，取后放回)，则取出的两球一黑一红的几率为何？

   答：⅛

4. 父亲的血型基因为 I_A 、 I_B ，母亲的血型基因为 I_A 、 i ，生出子女各种血型基的几率为何？

   A型：½

   B型：¼

   AB型：¼

   O型：0

5. 父亲的性染色体为 X 、 Y ，母亲的性染色体为 X 、 X ，请问生出男生与女生的几率各为多少？

   男生：½

   女生：½

6. 请算出一粒骰子投掷两次，点数的期望值。

   答：7

7. 某袋中有1号球8颗、2号球7颗、3号球6颗。若自袋中抽取一球，且每球被抽中的机会相等，则抽中3号球的几率为何？

   答：2/7

8. 小华班上比赛投篮，每人投6球，下图是班上所有学生投进球数的派图。各球所占的圆心角：0球:45°；1球:55°；2球:110°；3球:60°；4球:50°；5球:40°，合计360°。根据下图，请回答：

   

   平均数：2.375

   众数：2

   中位数：2

   全距：5

   进球的期望值为：2.375