线性代数/一次联立方程式的解集合

增广矩阵有无解的判定

定理

一个阶梯形增广矩阵 $A$ 无解当且仅当 $A$ 有非零列，且 $A$ 的最后一列非零列是 $\left[{\begin{array}{cccc|c}0&0&\dots &0&1\end{array}}\right]$ 。

证明

由于 $\left[{\begin{array}{cccc|c}0&0&\dots &0&1\end{array}}\right]$ 对应到方程式 1 = 0，因此 $A$ 的最后一列非零列是 $\left[{\begin{array}{cccc|c}0&0&\dots &0&1\end{array}}\right]$ 可以推得 $A$ 无解，而定理的另一个方向则是使用反证法：若 $A$ 没有非零列，则所有 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的元素都是 $A$ 的解，若 $A$ 有非零列且 $A$ 的最后一列非零列不是 $\left[{\begin{array}{cccc|c}0&0&\dots &0&1\end{array}}\right]$ ，则直接将 $A$ 的所有解写出来，具体的做法请见下文。

简化列阶梯形矩阵

将一个增广矩阵经由列运算化约成阶梯形矩阵就已足够判断是否有解，但如果要将所有的解找出来，换言之要算出解集合，则需要再进一步的化减。

首先假设 $A=[a_{ij}]$ 已被化成阶梯形矩阵，并假设 $A$ 共有 $k$ 列非零列，也就是说，第 $k$ 列是最后一列非零列。接着找到第 $k$ 列的首个非零元素，设为 $a_{kl}$ ，因此有 $a_{kl}=1$ 。下一步将第一列、第二列…至第 $k-1$ 列分别减去 $a_{1l},a_{2l},\dots ,a_{(k-1)l}$ 倍的第 $k$ 列，因此在做完列运算之后，第 $l$ 行除了 $a_{kl}=1$ 之外其他项都等于 0。

做完之后就没有第 $k$ 列的事了，因此下个步骤就要针对第 $k-1$ 列做运算，假设该列的首个非零元素是 $a_{(k-1)l'}=1$ ，根据阶梯形矩阵的定义，有 $l'<l$ 。然后将第一列、第二列…至第 $k-2$ 列分别减去 $a_{1l'},a_{2l'},\dots ,a_{(k-1)l'}$ 倍的第 $k-1$ 列，故做完之后第 $l'$ 行除 $a_{(k-1)l'}=1$ 外其他项皆为 0。接着不断重复此操作，由下而上，将每列都作完操作，最终会得到一个简化阶梯形矩阵。

定义

一个矩阵 $A$ 被称作是简化列阶梯形矩阵如果 $A$ 是一个阶梯形矩阵且每列的首项非 0 元素是其所在行的唯一的非零元素。

解集合

假设现在增广矩阵 $A$ 已经被化简成简化列阶梯形矩阵，并且假设 $A$ 有解，换言之， $A$ 的最后一列非零列不是 $\left[{\begin{array}{cccc|c}0&0&\dots &0&1\end{array}}\right]$ ，下一步要将 $A$ 的解都解出来。

首先举个例子，如果 $A$ 中有一列是 $\left[{\begin{array}{ccccc|c}0&0&1&-3&4&2\end{array}}\right]$ ，那该列对应到的式子是 $x_{3}-3x_{4}+4x_{5}=2$ ，可以将首个非 0 的项 $x_{3}$ 用其他项表达出来， $x_{3}=3x_{4}-4x_{5}+2$ ，由于 $A$ 是简化列阶梯型矩阵， $x_{3}$ 的表式中不会有其他列的首个非 0 项。