综合数学/实数与集合/实数与集合

实数和集合是数学上最基本的概念。

实数 

在数学中，实数是有理数和无理数的总称。
有理数就是可以表示成两个整数的比的数，即可表示成${\frac {p}{q}}$的形式的数，其中$p,q$均为整数且$q\not =0$。明显，有理数就是整数（可以表示成${\frac {na}{n}}$的形式，其中$a,n$皆为整数且$n\not =0$）和分数[包含一切有限小数及无限循环小数（下节证明）]的总称。实数又可以分为正数、零和负数。正数就是大于零的实数，负数就是小于零的实数。
无理数就是除有理数之外的实数，即不能表示成两整数之比的数。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保守同构意义下它是唯一的，常用$\mathbb {R}$表示。

数轴

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线就叫做数轴。如图，数轴上表示数字0的点叫做数轴的原点，通常用$O$表示；一般规定，原点的右侧（或上）为正方向，应标有箭头，原点的左侧（或下）为负方向；一般选取1为单位长度。

数轴

实数与数轴上的点是一一对应的，这就是实数的几何意义。为简便起见，通常用同一个字母或数既表示某个实数又表示实数在数轴上对应的点。
数轴上表示有理数的点叫有理点，表示无理数的点叫作无理点。在任意两个不同的有理点之间一定存在无穷个有理点，同样的，任意两个不同的无理点之间也一定存在无穷多个无理点，这就叫做有理点（数）和无理点（数）的稠密性。
任何不同的两个实数都可以比较大小。在数轴上，右边的数总大于左边的数。

实数的绝对值

设$a$为一个实数，定义

$|a|:=\left\{{\begin{matrix}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{matrix}}\right.$

为数$a$的绝对值。明显，互为相反数的两个数绝对值相等。
它的几何意义表示点$a$与原点$O$在数轴上的距离。
由定义，若$a,b$为两个实数，则

$|a-b|=\left\{{\begin{matrix}a-b,&a\geqslant b\\b-a,&a<b\end{matrix}}\right.$

它的几何意义表示点$a$与点$b$在数轴上的距离。
绝对值有下列基本性质：

(1)  $|a|\geqslant 0,|a|=|-a|,|a|={\sqrt {a^{2}}}$；

(2)  $-|a|\leqslant a\leqslant |a|$；

(3)  $|a|\leqslant k\Leftrightarrow -k\leqslant a\leqslant k$（$k\geqslant 0$）；

(4)  $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$；

(5)  $||a|-|b||\leqslant |a-b|$；

(6)  $\left|\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right|=\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|$；

(7)  $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$（$b\not =0$）。

证 性质(1)(2)(3)证明略；
(4) 由性质(2)可知

$-|a_{i}|\leqslant a_{i}\leqslant |a_{i}|,i=1,2,\cdots ,n$，

则

$-\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}\leqslant \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$，

令$k=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$，则由性质(3)有

$\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|$；

(5)  由性质(4)有

$|a|=|(a-b)+b|\leqslant |a-b|+|b|$，

即有

$|a|-|b|\leqslant |a-b|$，

类似地有

$|b|-|a|\leqslant |b-a|=|a-b|$，

于是

$||a|-|b||\leqslant |a-b|$；

性质(6)(7)证明略。$\blacksquare$

例1.1.1

解不等式$|x+3|<|x-1|$
解  由绝对值几何意义可知，待解不等式表示：点$x$与点-3的距离小于点$x$与点1的距离。因此，直接在数轴上观察可知，待解不等式的解为

$x<-1$。

或用区间的方式表示为

$x\in (-\infty ,-1)$。

集合

集合是数学中一个基本概念，现今被普遍接受的集合论是策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）集合论，包括选择公理，简称ZFC。
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合，简称集。通常，我们用大写字母$A,B,C\cdots$表示集合，用小写字母$a,b,c\cdots$表示集合中的元素。如果$a$ 是集合$A$ 的元素，我们就称$a$ 属于集合$A$，记作$a\in A$；反之，则称$a$ 不属于集合$A$，记作$a\not \in A$。

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常情况下，也把给定的集合称为全集），通常记作$U$。

集合的表示

集合一般有两种表示法：列举法和描述法。

列举法

顾名思义，列举法就是一个一个将集合中的元素列举出来，再用“$\{\}$”将元素括起来表示集合，元素与元数之间应用“$,$”隔开。当元素个数过多时，可在将元素规律表示出来后用“$\cdots$”省略后续元素。

例1.1.2

用列举法表示集合$A=$“不大于20的正奇数”，$B=$“大于或等于10的偶数”。
解 这里集合$A$是一个有限集合，元素较少，可以完全列举；但集合$B$是一个无穷集合，只能用省略号省去部分元素。
故

${\begin{alignedat}{2}&A=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\},\\&B=\{10,12,14,16,\cdots \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

描述法

描述法是表示一个集合最常用的方法。设$P(x)$为某个与$x$有关的条件或法则，$X$为满足$P(x)$的全体$x$构成的集合，则记$X$为

$X=\{x|P(x)\}$。

相应地，设$P(x,y)$为某个与$x,y$有关的条件或法则，$A$为满足$P(x,y)$的全体有序数对$(x,y)$构成的集合，则记$A$为

$A=\{(x,y)|P(x,y)\}$。以此类推。

例1.1.3

用描述法表示例1.1.2中的集合。
解 依题意，用描述法表示集合，则

${\begin{alignedat}{2}&A=\{x|x=2n+1,0\leq n\leq 9,n\in \mathbb {Z} \},\\&B=\{x|x=2n,n\geq 5,n\in \mathbb {Z} \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

答案不唯一。

集合的分类

集合有许多种，在数学上可以将集合按元素的个数分为无限集、有限集和空集。

数集和点集

顾名思义，数集就是数构成的集合，点集就是点构成的集合。我们见的最多的集合就是数集。数学中有一些特殊数集：

$\mathbb {N}$：自然数集；

$\mathbb {Z}$：整数集；

$\mathbb {Q}$：有理数集；

$\mathbb {R}$：实数集；

$\mathbb {C}$：复数集；

$\mathbb {H}$：四元数集；

$\mathbb {O}$：八元数集；

$\mathbb {S}$：十六元数集；

上述集合存在关系$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} \subseteq \mathbb {H} \subseteq \mathbb {O} \subseteq \mathbb {S}$。还有几个特殊的数集：

$\mathbb {P}$：素数集；

$\mathbb {A}$：代数数集。

上述数集是非完备的。

无限集、有限集和空集

令$\mathbb {N} ^{*}$是正整数的全体，且$N_{n}=\{1,2,3,\cdots ,n\}$,如果存在一个正整数$n$，使得集合$A$与$N_{n}$一一对应，那么我们称集合A为有限集。同时定义，不含任何元素的集合称作空集，记作$\varnothing$。空集是特殊的有限集（有时不将空集看作有限集），且空集是否是点集或数集是任意的。相反地，有限集之外的集合我们叫作无限集。

例1.1.4

判断下列集合是什么集合

(1)$A=\left\{x|0\leqslant x\leq 10\right\}$；

(2)$B=\left\{x|x\in \mathbb {Z} ,x^{2}\leqslant 0\right\}$；

(3)$C=\left\{x|x\in \mathbb {N} ,x<-3\right\}$；

(4)$D=\left\{\left(x,y\right)|x\geqslant y\right\}$；

解 (1)依题意，集合$A=$“大于等于0、小于等于10的（实）数”，明显，集合$A$是无限数集；
(2)由于实数范围内满足$x^{2}\leq 0$的数只有0，且$0\in \mathbb {Z}$，故集合$B=\left\{0\right\}$为有限数集；
(3)明显，自然数集内没有小于-3的数，则$C=\varnothing$，为空集；
(4)由于集合满足$x\geqslant y$的点有无数个，故集合$D$为一无限点集。

集合的性质

集合有确定性、互异性和无序性三个性质。

确定性

给定一个集合，则哪些元素在这个集合中，哪些元素不在都应是确定的。例如“我们班个子高的学生”就不是一个集合，因为多高才叫“高个子”是不确定的，不满足集合的确定性；而“我们班身高高于170 cm的学生”是一个集合。或说，任意给定一个元素$a$，则它是否属于集合$A$是确定的。

互异性

集合中任意两个元素都是不同的对象。如$\{1,1,2\}$不是一个集合，而$\{1,2\}$才是一个集合（有时也将含有几个相同的元素的集合视为集合，并将几个相同元素视为一个元素）。互异性使集合中的元素是没有重复，即使两个相同的对象在同一个集合中，也只能算作这个集合的一个元素。

无序性

集合中的元素排列是没有顺序的。例如，集合$\{1,3,2\}=\{1,2,3\}$。

以上就是集合的三个性质。

集合间的基本关系 

子集

一般地，对于两个集合$A,B$，如果集合$A$中的任何一种元素都是集合$B$的元素，我们则称集合$A$是集合$B$的子集，记作

$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$）

读作“$A$包含于$B$”（或“$B$包含$A$”）。同时，如果有两个集合$A,B$满足$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，我们则称这两个集合相等，记作

$A=B$。

外延公理是ZFC的公理之一，其可描述为

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]$，

其实质是：两个含有相同元素的集合相等。
若对于两个集合$A,B$，有

$A\subseteq B$但$A\neq B$

我们则称集合$A$是集合$B$的真子集，记作

$A\subsetneq B$（或$B\supsetneq A$）

读作“$A$真包含于$B$”（或“$B$真包含$A$”）。 由上述定义我们可以得到（子集的性质）：

1. 空集是任何集合的子集；

2. 任何集合都是它本身的子集，即

$A\subseteq A$；

3. （集合的传递性）如果集合

$A\subseteq B,B\subseteq C$，

则

$A\subseteq C$；

更一般地，我们有：

若

$A_{1}\subseteq A_{2},A_{2}\subseteq A_{3},\cdots ,A_{n-1}\subseteq A_{n},$

则

$A_{1}\subseteq A_{n}$；

4.  若集合$A$中有$n$个元素，则$A$的子集共有$2^{n}$，真子集有$2^{n-1}$个。

集合的相等和真子集均满足上述性质。证明略。

例1.1.5

列举出集合

$A=\{1,2,3\}$

的全部子集。
解 集合$A$的全部子集有：

$\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}$

幂集

在数学上，给定集合$S$，则定义

$\mathrm {P} (S):=\{U|U\subseteq S\}$

为集合$S$的幂集。若$|S|=n$，则$|\mathrm {P} (S)|=2^{n}$。
其中$\mathrm {P} (S)$的任一子集$F$称作$S$上的集族。
幂集公理是ZFC公理之一，其描述为

$\forall S\exists \mathrm {P} (S)\forall x:x\in \mathrm {P} (S)\Leftrightarrow (\forall y:y\in x\Rightarrow y\in S)$，

其本质为所有集合都有一个幂集。

区间与邻域

集合论中常用的实数集合为区间与邻域。
设$a,b\in \mathbb {R}$且$a<b$，我们定义：

(1)闭区间：$[\,a,b\,]:=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}$；

(2)开区间：$(a,b):=\{x|a<x<b\}$；

(3)半开区间：

(3.1)左开区间：$(a,b\,]:=\{x|a<x\leqslant b\}$；

(3.2)右开区间：$[\,a,b):=\{x|a\leqslant x<b\}$；

(4)无穷区间：

(4.1) $(-\infty ,b\,]:=\{x|x\leqslant b\}$；

(4.2) $(-\infty ,b):=\{x|x<b\}$；

(4.3) $[\,a,+\infty ):=\{x|x\geqslant a\}$；

(4.4) $(a,+\infty ):=\{x|x>a\}$；

(4.5)  $(+\infty ,-\infty ):=\mathbb {R}$。

通常，我们将上述四类区间统称为区间。其中(1)-(3)我们称为有限区间，$a,b$分别称为区间的左端点、右端点。
设$\varepsilon$为某个正数，则称开区间$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )$为点$x_{0}$的$\varepsilon$邻域；称$x_{0}$为邻域的中心，$\varepsilon$为邻域的半径。
点$x_{0}$的邻域去掉中心$x_{0}$后的集合

$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$

称为点$x_{0}$的空心邻域或去心邻域；称开区间$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$为点$x_{0}$的左邻域，$(x_{0},x_{0}+\varepsilon )$为点$x_{0}$的右邻域。
点$x_{0}$的邻域可表示为不等式

$|x-x_{0}|<\varepsilon$；

点$x_{0}$的空心邻域可表示为不等式

$0<|x-x_{0}|<\varepsilon$。