讯号与系统/三角傅里叶级数

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
5. 原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
6. 原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
7. 原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
8. 原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
9. 原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
10. 原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
11. 原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
12. 原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
13. 原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
14. 原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
15. 原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
16. 原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
17. 原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
18. 原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
19. 原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
20. 原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
21. 原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
22. 原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
23. 原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
24. 原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
25. 原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
26. 原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
27. 原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
28. 原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
29. 原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
30. 原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
31. 原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
32. 原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
33. 原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
34. 原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
35. 原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
36. 原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
37. 原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
38. 原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
39. 原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
40. 原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
41. 原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
42. 原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
43. 原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
44. 原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
45. 原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
46. 原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
47. 原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
48. 原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
49. 原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
50. 原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
51. 原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
52. 原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
53. 原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
54. 原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
55. 原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
56. 原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
57. 原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
58. 原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
59. 原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
60. 原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
61. 原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
62. 原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
63. 原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
64. 原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
65. 原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
66. 原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
67. 原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
68. 原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
69. 原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
70. 原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
71. 原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
72. 原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
73. 原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
74. 原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
75. 原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
76. 原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
77. 原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
78. 原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
79. 原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
80. 原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
81. 原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
82. 原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
83. 原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
84. 原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
85. 原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
86. 原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
87. 原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
88. 原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
89. 原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
90. 原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
91. 原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
92. 原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
93. 原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

傅里叶级数的观念

傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier)(1768-1830)首先提出一个周期讯号可以表示成弦波讯号的和。

假设x(t)为一周期讯号，其基本周期为$T^0$，则x(t)可表示成弦波讯号的和：

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t]$

其中${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}$

因为是用弦波讯号的和来表示周期讯号，故上述称为三角傅里叶级数。

三角傅里叶级数的系数

三角傅里叶级数：$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t]$

如何求系数:$a_0$,$a_n$,及$b_n$?

求$a_0$：

将上式等号两边分别对t积分，积分范围为一个基本周期$T0$，也就是$[t_1,t_1+T_o]$，t1可为任意值。

${\int }_{T_0}^{}x(t)dt={\int }_{T_0}^{}{a}_{0}dt+\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}{a}_{1}cos{\omega }_{0}tdt}\end{array}+\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}{a}_{2}cos2{\omega }_{0}tdt}\end{array}+\mathrm{...}$

$+\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}{b}_{1}sin{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}{b}_{2}sin2{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}+\mathrm{...}$

注意：任何弦波讯号积分一个周期或整数个周期结果均等于0

$⟺{\int }_{T^0}^{}x(t)dt=a_0{T}^0$

故$a_0=\begin{array}{c}\underbrace{\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)dt}\\ x(t)average\end{array}$

求第 k 项的系数$a_k$及$b_k(k\ne 0)$

(一)将三角傅里叶级数等号两边同乘上$cosk$${\omega }_{0}t$再对时间t积分，积分范围为$T_0$。 ${\int }_{T_0}^{}cosk{\omega }_{0}tdt=\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}{a}_{0}cosk{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}+{\int }_{T_0}^{}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}cosn{\omega }_{0}t)cosk{\omega }_{0}tdt+{\int }_{T_0}^{}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}cosn{\omega }_{0}t)cosk{\omega }_{0}tdt$

${\int }_{T_0}^{}cosk{\omega }_{0}tdt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}cos{\omega }_{0}tcosk{\omega }_{0}tdt}\\ =I_3=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is not equal to k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is equal to k}\end{array}\end{array}+b_n\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}sinn{\omega }_{0}tcosk{\omega }_{0}tdt}\\ =I_1=0\end{array}]$

${\int }_{T_0}^{}x(t)cosk{\omega }_{0}tdt=a_k\frac{T_0}{2}$

$\Rightarrow a_k=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)cosk{\omega }_{0}tdt$

(二)将三角傅里叶级数等号两边同乘上$sink$${\omega }_{0}t$再对时间t积分，积分范围为$T_0$。

${\int }_{T_0}^{}sink{\omega }_{0}tdt$=$\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}{a}_{0}sink{\omega }_{0}tdt}\\ 0\end{array}$+${\int }_{T_0}^{}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}cosn{\omega }_{0}t)sink{\omega }_{0}tdt$+${\int }_{T_0}^{}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{n}sinn{\omega }_{0}t)sink{\omega }_{0}tdt$

${\int }_{T_0}^{}sink{\omega }_{0}tdt$=$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}cosn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt}\\ =I_1=0\end{array}+b_n\begin{array}{c}\underbrace{{\int }_{T_0}^{}sinn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt}\\ =I_2=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is equal k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is not equal to k}\end{array}\end{array}]$

${\int }_{T_0}^{}sink{\omega }_{0}tdt=b_x\frac{T_0}{2}$

$\Rightarrow b_k=\frac{2}{T_0}={\int }_{T_0}^{}sink{\omega }_{0}tdt$

说明 $I_1\equiv {\int }_{T_0}^{}cosn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}dt$

若$n\ne k$

$I_1=\frac{1}{2}[\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}sin(n+k){\omega }_{0}tdt}\end{array}$ - $\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}sin(n-k){\omega }_{0}tdt}\end{array}]=0$

若$n=k$

$I_1={\int }_{T_0}^{}cosk{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt=\frac{1}{2}{\int }_{T_0}^{}sin2k{\omega }_{0}tdt=0$

所以$I_1={\int }_{T_0}^{}cosn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt=0$

说明 $I_2\equiv {\int }_{T_0}^{}sinn{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}dt$

若$n\ne k$

$I_1=\frac{1}{2}[\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}cos(n-k){\omega }_{0}tdt}\end{array}$ - $\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}cos(n+k){\omega }_{0}tdt}\end{array}]=0$

若$n=k$

$I_2={\int }_{T_0}^{}sink{\omega }_{0}tsink{\omega }_{0}tdt={\int }_{T_0}^{}si{n}^2{\omega }_{0}tdt$

$={\int }_{T_0}^{}\frac{1-cos2k{\omega }_{0}t}{2}dt={\int }_{T_0}^{}\frac{1}{2}dt$-$\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}\frac{1}{2}cos2k{\omega }_{0}tdt}\end{array}=\frac{T_0}{2}$

所以$I_2=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is equal k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is not equal to k}\end{array}$

说明 $I_3\equiv {\int }_{T_0}^{}cosn{\omega }_{0}tcosk{\omega }_{0}dt$

若$n\ne k$

$I_3=\frac{1}{2}[\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}cos(n-k){\omega }_{0}tdt}\end{array}$ - $\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}cos(n+k){\omega }_{0}tdt}\end{array}]=0$

若$n=k$

$I_3={\int }_{T_0}^{}co{s}^{2}k{\omega }_{0}tdt={\int }_{T_0}^{}\frac{1+cos2k{\omega }_{0}t}{2}dt$

$={\int }_{T_0}^{}\frac{1}{2}dt$+$\begin{array}{c}0\\ \overbrace{{\int }_{T_0}^{}\frac{1}{2}cos2k{\omega }_{0}tdt}\end{array}=\frac{T_0}{2}$

$I_3=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is equal k}\\ \frac{T_0}{2},& \text{if }n\text{ is not equal to k}\end{array}$

三角傅里叶级数(整理)

一个基本周期为$T_0$的周期讯号可表示成三角傅里叶级数：

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sin{\omega }_{0}t]$

其中

$a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)dt$ ($x(t)$的平均值)

$a_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)cosn{\omega }_{0}tdt$ $(n\ne 0)$

$b_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)sinn{\omega }_{0}tdt$ $(n\ne 0)$

三角傅里叶级数第二式

利用三角函数的公式

$a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t=c_{n}cos(n{\omega }_0+{\theta }_n)$

其中: $c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$

${\theta }_n=ta{n}^{-}1\frac{-b_n}{a_n}$

故:$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t)$

=$a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}cos(n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$

令$c_0=a_0\Rightarrow x(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}cos(n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$

......三角傅里叶级数第二式

函数不连续点之级数收敛值

不连续点：傅里叶级数收敛至不连续点之左、右极限的平均值。

图出处©Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

傅里叶级数存在的条件

Dirichlet 条件：

1 .$x(t)$在一个周期内只存在有限个不连续点，且这些不 连续点均为有限值。

2 .$x(t)$在一个周期内只有有限个极大值和极小值。

3 .$X(t)$在一个周期内为绝对可积，即

${\int }_{t_1+T_0}^{t_1}|x(t)|dt<\mathrm{\infty }$ $t_1$为任意时间

若$x(t)$满足 Dirichlet 条件，则$x(t)$可表示成傅立 叶级数。

范例4.10

试求周期方波$x(t)$之三角傅里叶级数。

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】$x(t)$的基本周期为$T_0=2\pi \Rightarrow {\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=1$

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosnt+b_{n}sinnt]$

$a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}dt=\frac{1}{2}$

$a_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)cosntdt=\frac{1}{\pi }{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}cosntdt=\frac{2}{n\pi }sin(\frac{n\pi }{2})$

$=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{2}{n\pi },& n\text{=1,5,9,13...}\\ \frac{-2}{n\pi },& n\text{=3,7,11,15...}\end{array}$

$b_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)sinntdt=\frac{1}{\pi }{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}sinntdt=0$

$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }(cost-\frac{1}{3}cos3t+\frac{1}{5}cos5t-\frac{1}{7}cos7t+\mathrm{...})$

$-cosx=cos(x-\pi )$

$=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }[cost+\frac{1}{3}cos(3t-\pi )+\frac{1}{5}cos5t+\frac{1}{7}cos(7t-\pi )+\mathrm{...}]$

=$c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{n}cos(nt+{\theta }_n)$

其中 $c_0=\frac{1}{2}$

$c_n=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{2}{n\pi },& \text{if }n\text{ is odd}\end{array}$

${\theta }_n=\{\begin{array}{cc}-\pi ,& n\text{=3,7,11,15...}\\ 0,& \text{other}\end{array}$

$x(t)$的频谱

由于${\theta }_n$只有0与$-\pi$两个可能，故可将幅度频谱与相位频谱合并，如下：

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

范例4.11

试求三角波周期讯号$x(t)$的三角傅里叶级数。

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】

$x(t)$的基本周期$T_0=2\Rightarrow {\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=\pi$

$x(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_{n}cosn\pi t+b_{n}sinn\pi t]$

由图形知，积分范围可取$t=\frac{-1}{2}$到$t=\frac{3}{2}$，此时

$x(t)=2At,\left|t\right|\le \frac{1}{2}$ and $x(t)=2A(1-t),\frac{1}{2}<t\le \frac{3}{2}$

(1)$a_0=0\leftarrow x(t)$的平均值为0

(2)$a_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)cosn\pi tdt$

=$\frac{2}{2}{\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{3}{2}}x(t)cosn\pi tdt$

=${\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}2Atcosn\pi tdt+{\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}2A(1-t)cosn\pi tdt=0\to$说明:可用函数的奇偶对称性看出

$b_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}^{}x(t)sin(n\pi t)dt$ =$\frac{2}{2}{\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{2}{3}}x(t)sin(n\pi t)dt$ =${\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}2Atsin(n\pi t)dt+{\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}2A(1-t)sin(n\pi t)dt$

$\frac{8A}{n^2{\pi }^2}sin\frac{n\pi }{2}=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n\text{ is even}\\ \frac{8A}{n^2{\pi }^2},& n\text{=1,5,9,13...}\\ \frac{-8A}{n^2{\pi }^2},& n\text{=3,7,11,15...}\end{array}$

$x(t)=\frac{8A}{{\pi }^2}[sin\pi t-\frac{1}{9}sin3\pi t+\frac{1}{25}sin5\pi t-\frac{1}{49}sin7\pi t+\mathrm{...}]$

利用$\pm sinkt=cos(kT\mp 90^{\circ })$

=$\frac{8A}{{\pi }^2}[cos(\pi t-90^{\circ })+\frac{1}{9}cos(3\pi t+90^{\circ })+\frac{1}{25}cos(5\pi t-90^{\circ })+\frac{1}{49}cos(7\pi t+90^{\circ })]$

单边频谱

注意：偶次谐波(harmonic)消失，只有奇次谐波存在。

图出处©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

函数对称性的影响

假设$f(t)$为偶对称(even symmetrical)

$a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt=\frac{2}{T_0}{\int }_0^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt$

$a_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)cosn{\omega }_{0}tdt=\frac{4}{T_0}{\int }_0^{\frac{T_0}{2}}f(t)cosn{\omega }_{0}tdt$

$b_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)sinn{\omega }_{0}tdt=0$

假设$f(t)$为奇对称(odd symmetrical)

$a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt=0$

$a_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)cosn{\omega }_{0}tdt=0$

$b_n=\frac{2}{T_0}{\int }_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)sinn{\omega }_{0}tdt=\frac{4}{T_0}{\int }_0^{\frac{T_0}{2}}f(t)sinn{\omega }_{0}tdt$

假设$f(t)$为半波奇对称(half-wave odd symmetrical) ， 即

$f(t-\frac{T_0}{2})=-f(t)$

$\Rightarrow$所有偶次谐波皆为0

Note：以上两个范例均可视为半波奇对称或半波奇对称的变形。

Gibbs 现象

由前面范例知，周期方波$f(t)$的傅里叶级数如下：

$f(t)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi }(cost-\frac{1}{3}cos3t+\frac{1}{5}cos5t-\frac{1}{7}+\mathrm{...})$

下图分别是取第1项(a) ，前2项之和(b) ，前3项之和(c) ，前4项之和(d)以及前11项之和(e)的图形：

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

根据傅里叶级数的原理，取无穷多项的和〝应该〞和$f(t)$完全相等。

但上图可知：

(1) 波形中存在振荡(oscillatory)的现象。

(2) 在不连续点的两侧存在有大小约9%的越位(overshoot) 。

Gibbs证实： 即使取无穷多项的和，此一9%的越位现象仍存在，只是会非

常靠近不连续点。后人称为Gibbs现象(Gibbs phenomenon)