對已知的和式逐項求導，如S(n,q)=∑k=1np(k)qk−1，得到未知的和式。
∑k=1nqk−1=qn−1q−1 ∑k=1nkqk−1=ddq(qn+1−qq−1)=(n+1)qn−1q−1−qn+1−q(q−1)2=nqn+1−(n+1)qn+1(q−1)2 ∑k=1nk2qk−1=ddq[nqn+2−(n+1)qn+1+q(q−1)2]=n(n+2)qn+1−(n+1)2qn+1(q−1)2−2nqn+2−(n+1)qn+1+q(q−1)3 =n2qn+2−(2n2+2n−1)qn+1+(n+1)2qn−q−1(q−1)3
11−x=1+x+x2+x3+x4+⋯ 兩邊逐項求導，得到：∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2,|x|<1. 求m次導,得到:∑n=1∞Cnmxn−m=m!(1−x)m+1,|x|<1.
