小學數學/六年級下冊

本頁面收集人民教育出版社出版的六年級下冊數學課本的主要知識點，供學習之用。

1 負數

負數的含義、讀寫法

負數：表示與正數相反意義的量的數。（例如：-3, -500, -4.7等）

讀法：先讀「負」，再讀數。（如：-3，讀作：負三）

寫法：先寫負號「-」，再寫數。（如：負零點三七五，寫作：-0.375）

（註：正數的正號「+」可以省略，也可以加上，讀時先讀「正」，再讀數；寫時先寫正號「+」，再寫數。）

0既不是正數，也不是負數。

解決問題

四個同學分別以大樹為起點，按下面的方向和距離走：

小紅：我向西走4m；

小明：我向西走2m；

小麗：我向東走2m；

小東：我向東走4m。

如何在一條直線上表示他們的行走距離和方向呢？

閱讀和理解

方向相反：兩人向東，兩人向西。（正負數正好可以表示相反意義的量）

路程不同：有的是2米，有的是4米。（正數和負數可以表示走的路程）

分析與解答

確定起點：以大樹為起點，表示為0；

確定方向：以東為正，以西為負。（0右邊為正，左邊為負）

表示小數、分數：在小數的範圍之內取值。（如：0.25，將0和1之間的線段四等分，最靠近0的點表示0.25；-1.5，平分-2和-1間的線段，中間的點即為-1.5。）

結果：

題目的解答

回顧與反思

用有正數、負數的直線（數軸）可以表示相反的方向。

數軸（與本題目無關）

2 百分數（二）

折扣

超市降價銷售商品，叫打折扣銷售，俗稱「打折」。

打幾折=十分之幾=百分之幾十

（如：打九折$={\frac {9}{10}}=90\%$；打八八折$={\frac {8.8}{10}}=88\%$）

打折後的價格 = 原價 × 折扣

打折後降價多少元 = 原價 × ( 1 - 折扣 )

成數

農業收成、各行各業的變化用成數表示。

幾成=十分之幾=百分之幾十

（如：二成=十分之二=20%；七成五=十分之七點五=75%）

增長（減少）後的數值=增長（減少）前的數值×(1-成數)

稅率

按一定比率給國家上繳的集體和個人收入的一部分叫納稅。

稅收

應納稅額：應繳納的稅款

稅率：應納稅部分與所有應繳納稅款的錢的比率

應納稅額=所有應繳納稅款的錢×稅率

利率

• 本金：存入銀行的錢
• 利息：取款時銀行多支付的錢
• 本息：本金與利息的和
• 利率：單位時間內利息與本金的比率
• 利息 = 本金×利率×存期
• 本息和 =
  • 本金×利率×存期（利息）+本金
  • 本金×（1+利率×存期）

解決問題

某品牌的裙子搞促銷活動，在A商場打五折銷售，在B商場按「每滿100元減50元」的方式銷售。媽媽要買一條標價230元的這種品牌的裙子。

1. 在A、B兩個商場買，各應付多少錢？
2. 選擇哪個商場更省錢？

閱讀與理解

「每滿一百元減五十元」含義：總價中，每個一百元減去五十元，未滿一百不計。

分析與解答

A商場：	230×50%=115（元）
B商場：	230÷100=2……30（元）	230裡面有兩個100。
	230-50×2=230-100=130（元）	減去兩個50。
	115<130
答：在A商場應付115元，在B商場應付130元；選擇A商場省錢。

回顧與反思

當價格不到一百時：A商場實惠；

當價格不是整百時：A商場實惠；

當價格是整百時：兩商場一樣實惠。

※ 生活與百分數

活動一

調查利率：可以自行去銀行調查或在網際網路查詢。以下以中國農業銀行官網存款利率（2022年3月26日）為例：

類型	項目	存期	年利率（%）
活期	-		0.30
定期	整存整取	三個月	1.35
		半年	1.55
		一年	1.75
		二年	2.25
		三年	2.75
		五年	2.75
	零存整取、整存零取、存本取息	一年	1.35
		三年	1.55
		五年	1.55
	定活兩便	按一年以內定期整存整取同檔次利率打6折

國家調整利率的原因：

1. 貨幣寬鬆，國家經濟陷入停滯，國家為了保證經濟正常運作，房地產等不會因此而過快崩潰，降低利率，提高市場的貨幣投放，促進經濟增長。
2. 利率是調節貨幣政策的重要工具。當經濟過熱、通貨膨脹上升時，便提高利率、收緊信貸；當過熱的經濟和通貨膨脹得到控制時，便會把利率適當地調低。

活動二

李奶奶手中有兩萬元，請你用一下三種方式：普通儲蓄存款、國債、理財產品設計存款方案，使六年後收益最大。

查找資料，設計方案。

3 圓柱與圓錐

圓柱

圓柱的定義與形狀

兩底面為相等並可以完全重合的圓，側面為曲面的立體圖形，叫作圓柱體，簡稱圓柱。

圓柱示意圖

底面：圓柱的上、下兩個面。

側面：圓柱周圍的面。（上、下底面除外）

高（h）：圓柱兩個底面的距離。

底面半徑（r）

快速旋轉一個一條邊被固定在木棒上長方形所形成的立體圖形是圓柱。

快速旋轉一個一條邊被固定在木棒上的長方形所形成的圖形是圓柱

圓柱體的展開圖：將圓柱體的兩個底面剪開可以得到兩個圓形，將側面沿高剪開可以得到一個長方形。

圓柱體展開圖

圓柱的表面積

圓柱的兩個底面積=2×圓周率×半徑×半徑（$2\pi r^{2}$）

圓柱的側面積：

圓柱側面展開後是一個長方形，它的長是圓柱底面積的周長（πd=2πr），他的寬是圓柱的高（h）

所以圓柱的側面積=底面積的周長×高（πdh/2πrh）

圓柱的表面積（S）=圓柱的兩個底面積+圓柱的側面積（2πr²+πdh/2πrh）

有時需要看情況求圓柱的表面積（如廚師帽只有一個底面）

圓柱的體積

如圖所示，將圓柱的底面分為許多個扇形，再將這些扇形拼成一個近似長方體的立體圖形。（扇形越多，這個立體圖形就越接近長方體）

將圓柱變為長方體

①長方體的長為圓柱底面積周長的一半（πr），寬為圓柱底面積的半徑（r），高為圓柱的高（h）。

那麼圓柱的體積（V）=底面積周長的一半×底面積的半徑×高=πr²h。

②長方體的底面積為圓柱的底面積（S），高為圓柱的高（h）。

那麼圓柱的體積（V）=底面積×高=Sh。

圓錐

圓錐的定義和形狀

底面是圓，側面是曲面，而且有一個頂點的立體圖形叫作圓錐體，簡稱圓錐。

底面	：圓錐下面的部分。
側面	：圓錐表面除底面的部分。
頂點	：圓錐頂部的點。
高（h）	：圓柱的頂點到底面的距離。
底面半徑（r）

圓錐示意圖

測量圓錐的高：

1. 拿出兩個板子，分別將兩個板子分別水平地放在圓錐底面的下面和頂點的上面；
2. 用尺子測量底下板子的上面與頂上板子的底部的距離，這個距離就是圓錐的高。

快速旋轉一個一條直角邊貼在木棒上的直角三角形，可以得到一個圓錐。

快速旋轉一個一條直角邊貼在木棒上的直角三角形會形成一個圓錐

圓錐的體積

一個圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的三分之一。

所以圓錐的體積（V_圓錐）=

• ${\frac {1}{3}}$×底面積×高=${\frac {1}{3}}$Sh
• ${\frac {1}{3}}$×π×底面半徑×底面半徑×高=${\frac {1}{3}}$πr²h

4 比例

比例的意義和基本性質

比例的意義

表示兩個比相等的式子叫作比例。（例：2.4 : 1.6=60 : 40或${\frac {2.4}{1.6}}$=${\frac {60}{40}}$）

比例的基本性質

組成比例的四個數叫作比例的項，兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項。（如：在2.4 : 1.6=60 : 40和${\frac {2.4}{1.6}}$=${\frac {60}{40}}$中，2.4和40是外項，1.6和60是內項。）

比例的基本性質：在比例里，兩個外項的積等於兩個內項的積。

解比例

根據比例的基本性質，如果知道比例中的任何三項，就可以求出這個比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫作解比例。

${\begin{aligned}{\text{如 ：}}2.4:x&=60:40\\{\text{解 1 ： }}2.4\times 40&=60x{\text{ - 依 照 比 例 的 基 本 性 质 将 比 例 转 化 为 方 程 }}\\60x&=96\\x&=1.6\\{\text{解 2 ： }}x&=2.4\times 40\div 60{\text{ - 将 比 号 看 做 除 号 计 算}}\\x&=1.6\end{aligned}}$

正比例與反比例

正比例

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種兩也跟著變化，如果這兩種量的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，這兩種量的關係叫正比例關係。

（如：一種商品的單價是固定的，那麼買這種東西的數量和這些商品的總價是成正比例的量，它們的關係是正比例關係。）

正比例關係可用下面的式子表示（$x$、$y$為兩種相關聯的量，$k$是它們的比值（一定））：

${\frac {y}{x}}=k$

正比例關係可以用圖像清楚直觀地表示出來，這個圖像叫正比例關係圖像。

正比例關係圖像

反比例

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨之變化，如果這兩種量的乘積一定，那麼這兩個量是成反比例的量，這兩種量的關係叫反比例關係。

（如：杯子裡的水的多少是固定的，水的高度隨著杯子的底面積增加而減少，那麼水的高度和杯子的底面積是成反比例的量，這兩種量的關係叫做反比例關係。）

反比例關係可以用下面的式子來表示（$x$、$y$為兩種相關聯的量，$k$是它們的乘積（一定））：

$xy=k$

反比例關係也可以用圖像清楚直觀地表示出來，這個圖像叫反比例關係圖像。

反比例關係圖像

比例的應用

比例尺

比例尺的定義

一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫作比例尺。（可表示為圖上距離 : 實際距離=比例尺或圖上距離/實際距離=比例尺）

比例尺的類型

• 數值比例尺：1 : 100000000或${\frac {1}{100000000}}$；（表示圖上1厘米等於實際1億厘米（1000千米））
• 線段比例尺：

  

  線段比例尺

  。（表示圖上1單位長度等於10千米）
  （將線段比例尺轉換為數值比例尺（以上面的線段比例尺為例）：
    圖上距離 : 實際距離
  ${\begin{aligned}=1cm:&\ 10km\\=1cm:&\ 1000000cm\\=\ \quad 1:&\ 1000000\end{aligned}}$
• 縮小比例尺：圖上距離相較實際距離縮小的比例尺；（如：1 : 100000000）
• 放大比例尺：圖上距離相較實際距離放大的比例尺。（如：2 : 1）

已知圖上距離與比例尺，求實際距離

①根據「圖上距離 : 實際距離=比例尺」寫出含有未知項的比例；

②解比例；

③將厘米轉換為其他單位。

或

①根據「實際距離=圖上距離÷比例尺」求出實際距離；

②將厘米轉化為其他單位。

已知實際距離及比例尺，求圖上距離及畫圖

①將其他單位轉化為厘米；

②根據「圖上距離=實際距離×比例尺」，求出圖上距離；

③畫圖。

圖形的放大和縮小

放大和縮小的定義

讓圖形的形狀和位置不變，大小變化的運動，叫作放大（圖形變大）或縮小（圖形縮小）。

按比例放大或縮小

按幾比一放大（縮小），就是把圖形的邊長放大（縮小）幾倍。（如：按2 : 1放大，就是把圖形各邊的邊長放大2倍）

注意：圖形各邊的邊長放大（縮小）幾倍，圖形的面積放大（縮小）幾倍的平方。

用比例解決問題

解決問題1

張大媽上個月用了8噸水，水費28元；李奶奶上個月用了10噸水，其應繳水費多少元？

閱讀與理解

本題中不知道水的單價，但水的價格是一定的。用的水量和水費成正比例關係，也就是說，它們的比值（水的單價）一定。

分析與解答

解：設李奶奶應繳水費$x$元。

${\begin{aligned}{\frac {28}{8}}&={\frac {x}{10}}\\8x&=28\times 10\\x&=35\end{aligned}}$

答：李奶奶應繳水費35元。

（也可以先求出每噸水的價錢，再求李奶奶應繳的水費。）

回顧與反思

本題的關鍵點在於找到不變的比值。只要找到兩個量間不變的比值，就可以用正比例關係解出該題。

解決問題2

一個辦公樓平均每天照明用電100千瓦時。改用節能燈以後，平均每天只用電25千瓦時。原來5天的用電量現在可以用多少天？

閱讀和理解

總用電量一定，已知的平均每天用電和用電時間成反比例關係，也就是說兩個量的乘積（總用電量）一定。

分析與解答

解：設原來五天的用電量現在可以用$x$天。

${\begin{aligned}25x&=100\times 5\\x&=20\end{aligned}}$

答：原來5天的用電量現在可以用20天。

（也可以先求出總用電量，再求出現在的用電天數。）

回顧與反思

本題的關鍵點在於找到不變的乘積。只要找到不變的比值，就可以用反比例關係解答。

※ 自行車裡的數學

活動一

已知前齒輪齒數、後齒輪齒數與車輪半徑，求自行車蹬一圈的路程。

因為前齒輪轉一圈的長度等於鏈條所走的長度，而後齒輪也要走過同樣的長度，所以前齒輪齒數×前齒輪轉數=後齒輪齒數×後齒輪轉數。

因為後齒輪轉數和後輪轉數保持一致，又因為自行車蹬一圈的路程=後輪周長×後輪轉數，所以自行車蹬一圈的路程=2×車輪半徑×π×後輪轉數（2πr×後輪轉數）。

活動二

調查變速自行車前後齒輪的齒數，看它們有多少種組合，並思考哪種組合蹬的路程最遠。

調查自行車前後齒輪的齒數並統計組合：可以自己找一輛自行車數一數前後齒輪上的齒數，將它們記錄在一張紙上，用搭配的知識算出它們的組合。

哪種齒輪組合蹬的路程最遠：前齒輪齒數最多，後齒輪齒數最少的組合蹬的路程最遠。

理由：前齒輪齒數越多，齒輪轉一圈的長度越遠；後齒輪齒數越少，齒輪轉一圈的圈數越多。前齒輪齒數最多，後齒輪齒數越少，此時後齒輪轉動的圈數是最多的，相應的，後輪轉動的圈數是最多的，蹬一圈的長度也越長。

5 數學廣角──鴿巢問題

鴿巢問題的解釋

像下面這樣子的問題是鴿巢問題：

將3支筆放入2個筆筒中，總有一個筆筒中至少有兩隻鉛筆。

總有：每次都會發生，沒有例外。

至少：最少，不會出現比這個更少的情況。

可以這樣解釋鴿巢問題：

先放兩支筆，每支筆分別放在一個筆筒里…………最倒霉原則（考慮最不可能出現題設的情況）

此時還剩下一支筆，這支筆只能放在已經分別有了一支筆的兩個筆筒之一。這時無論放進那個筆筒里，每個筆筒都會有兩支筆。所以會出現題目中的情況。

整個過程可以用這個式子表示：3÷2=1（支）……1（支），1+1=2（支）

• 3：三支筆（鴿巢問題中的「鴿子」）
• 2：兩個筆筒（鴿巢問題中的「鴿巢」）
• 1（商）：每個筆筒首先放進去的筆的數量
• 1（餘數）：後來放進筆筒中的筆

如何保證能摸出不同類型的「鴿子」

盒子裡有大小相同的紅球和藍球各4個，要想保證摸出的球有一個藍球，至少要摸出幾個球？

保證：一定，一定會。

至少：最少要，不能摸出比這更少的球。

答：至少得摸出5個。

可以這樣解釋：

如果摸出的球≤4個，那有可能摸出來的都是紅球，因為紅球有4個。…………最倒霉原則

如果摸出的球是5個或5個以上，那麼不論怎麼摸，都會摸出1個或1個以上的藍球，因為紅球只有4個。

所以至少得摸出5個球。

6 整理和複習

數與代數

數的認識

本章節沒有任何內容。
您可以幫助我們加入信息。

數的分類

目前學過的數可以用圖的形式表示：

數	$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$	整數	$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$	正整數	$\left\}{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$	自然數
				0
				負整數
		分數（有限小數，無限循環小數）
		無限不循環小數

數軸

用有正數、負數的直線（數軸）可以表示相反的方向。這是一個數軸，標出了一些數的位置：

____|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|____>
    |             |         |       |                   |           |
   -3            -1.25      0       1                    3.5         5

十進制計數法，數位和計數單位

	整數部分													小數點	小數部分
	……	億級	萬級	個級
數位	……	千億位	百億位	十億位	億位	千萬位	百萬位	十萬位	萬位	千位	百位	十位	個位	.	十分位	百分位	千分位	……
計數單位	……	千億	百億	十億	億	千萬	百萬	十萬	萬	千	百	十	個		十分之一	百分之一	千分之一	……

因數和倍數

設$ab=c,a\neq 0,b\neq 0$，則有以下幾條：

• $a$和$b$都是$c$的因數。
• $c$是$a$和$b$的倍數。

數的運算

運算和運算的意義

運算	定義	關係式	變式
加法	兩個數合起來的值。	加數+加數=和	和-一個加數=另一個加數
減法	已知一個加數和和，求另一個數的運算。	被減數-減數-差	被減數-差=減數	減數+差=被減數
乘法	所有加數均相等的加數的簡便運算。	乘數（因數）×乘數=積	積÷一個乘數=另一個乘數
除法	已知一個乘數和積，求另一個乘數的運算。	被除數÷除數=商	被除數÷商=除數	商×除數=被除數

運算律

• 加減法
  • 加法交換律：$a+b=b+a$
  • 加法結合律：$a+b+c=(a+b)+c=a=(b+c)$
  • 減法結合律：$a-b-c=a-(b+c)$
• 乘除法
  • 乘法交換律：$ab=ba$
  • 乘法結合律：$abc=(ab)c=a(bc)$
  • 除法結合律：$a\div b\div c=a\div (bc)$或${\frac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}$

估算

可以按照以下思路解決求夠不夠的問題與估算的計算題：

1. 估
   • 估大：例如做衣服，給了布料的數量。
   • 估小：例如做衣服，給了衣服的件數。
   • 四捨五入：例如計算題，不用刻意估大估小的應用題。
   • 湊整：例如$10006\times 9994\approx 10000\times 10000$
2. 算：根據估後的值進行計算。計算題到這裡已經結束了。
3. 比：將估算後的值與那個夠不夠的值比較，答。

式與方程

等式的性質

等式兩邊同加減乘除乘方同一個數（除法不能為0），等式仍然成立。

比和比例

比與分數、除法的關係

比	前項	比號	後項	比值
分數	分子	分數線	分母	分數值
除法	被除數	除號	除數	商

圖形與幾何

圖形的認識與測量

平面圖形

直線、射線和線段

類型	性質	端點數	表示方法
直線	向兩邊無限延伸	0	從直線上面任取兩個點，稱作直線<兩個點各自的名稱>
射線	從一個點起，向一個方向無限延伸	1	射線<端點的名稱><射線上任一個非端點的點的名稱>
線段	有有限的長度	2	線段<兩個端點各自的名稱>

三角形

有三條邊，是封閉圖形。

平行四邊形

有四條邊，是封閉圖形，對邊對角相等。

圓

有一條曲邊，是封閉圖形，半徑相等，直徑（半徑）與周長的比值相等。

圖形的周長和面積

• 平行四邊形
  • $S_{\text{平 行 四 边 形}}=ah$
  • $C_{\text{平 行 四 边 形}}=2(ab)$
  • 三角形
    • $S_{\text{三 角 形}}={\frac {1}{2}}ah$
    • $C_{\text{三 角 形}}=a+b+c$
  • 梯形
    • $S_{\text{梯 形}}={\frac {1}{2}}(a+b)h$
    • $C_{\text{梯 形}}=a+b+c+d$
  • 長方形
    • $S_{\text{长 方 形}}=ab$
    • $C_{\text{长 方 形}}=2(ab)$
    • 正方形
      • $S_{\text{正 方 形}}=a^{2}$
      • $C_{\text{正 方 形}}=4a$
• 圓
  • $S_{\text{圆}}=\pi r^{2}$
  • $C_{\text{圆}}=\pi d=2\pi r$

立體圖形

長方體和正方體

有長、寬、高，6個長方形面，12條棱，互相垂直或平行。 有3組平行面，3組平行棱。

圖形的棱長總和、表面積和體積

• 長方體
  • $C_{\text{长 方 体}}=4(a+b+c)$
  • $S_{\text{长 方 体}}=2(ab+ah+bh)$
  • $V_{\text{长 方 体}}=S_{\text{底 }}h=abh$
  • 正方體
  • $C_{\text{正 方 体}}=$
    • $S_{\text{正 方 体}}=6a^{2}$
    • $V_{\text{正 方 体}}=S_{\text{底 }}h=a^{3}$
• 圓柱
  • $S_{\text{圆 柱}}=\pi r(h+r)$
  • $V_{\text{圆 柱}}=S_{\text{底 }}h=\pi r^{2}h$
  • 圓錐
    • $S_{\text{圆 锥}}=\pi r^{2}+{\frac {{\text{扇 形 圆 心 角 }}^{\circ }}{360^{\circ }}}\pi \times {\text{顶 点 到 底 边 的 距 离 }}$（這個書上沒有，但是會考）
    • $V_{\text{圆 锥}}={\frac {1}{3}}S_{\text{底 }}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

課本擴展

千分數和萬分數

千分數也叫千分率，表示一個數的千分之幾。與百分數一樣，千分數也有千分號，寫作「‰」。例，2019年我國全年出生人口1465萬人，出生率為10.48‰，死亡998萬人，死亡率為7.14‰，自然增長率為3.34‰。

萬分數也叫萬分率，表示一個數的萬分之幾。與百分數一樣，萬分數也有萬分號，寫作「」。例，將某銀行一年期商業貸款基準年利率換算成日利率為1.2。

圓柱容球

將一個球放在一個圓柱中，球與圓柱的上下底面、側面互相接觸，球的直徑與圓柱的高和直徑相等。假設球的半徑為$r$，那麼圓柱的體積$V_{\text{圆 柱 }}=\pi r^{2}\times 2r=2\pi r^{3}$。阿基米德發現並證明了球的體積公式是$V_{\text{球 }}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$，故$V_{\text{球 }}={\frac {2}{3}}V_{\text{圆 柱 }}$，即當圓柱容球時，球的體積正好是圓柱的${\frac {2}{3}}$。

阿基米德還發現，當圓柱容球時，球的表面積也是圓柱表面積的${\frac {2}{3}}$。故球的表面積公式是$S_{\text{球 }}={\frac {2}{3}}[2\pi r(r+h)]={\frac {2}{3}}\left[6\pi r^{2}\right]=4\pi r^{2}$。

七橋問題

一城中有一河穿過，河中有二島，有七座橋連其中。有人提出一問題：一個步行者如何才能不重複不遺漏走完七座橋？這就是著名的七橋問題。數學家們通過把七橋問題轉化成一個幾何問題：一筆畫問題（如下），發現由於有奇數條線連接的點有ABCD四個，故這樣的走法是不存在的。

B<==>A<==>C
 \   |   /
  \  |  /
   \ | /
    \|/
     D