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Maple/光的球面折射

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光的球面折射

光的球面折射

本節敘述Maple在球面折射的光線追蹤的應用。

圖中PA 是一個球面，球心為O，半徑為r。光軸為AOBC 入射光線在P點與球面相交，入射線與球面的垂直線交角為i1，入射線的延長線與光軸相交於C，交角為U1； 折射線與光軸相交於B點，交角為U2。

AC=L1，AB=L2

在球面左邊介質的折射係數=N1，在球面右邊的介質的折射係數=N2

在入射線、垂直線、光軸形成的三角形OPC中

由於OC=L1-r

……………………(1)

在（折射線、垂直線、光軸），三角形OPB中，

因OB=L2-r

……………………(2)

顯然 U1+i1=U2+i2…………………………………………(3)

又根據光的折射定律


sin(i1)*N1=sin(i2)*N2 …………………………………………(4)

球面折射的光路計算

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Refraction of a thick lens

透鏡的厚度為的d=0.6 前球面半徑r1=10，後球面半徑r2=-5

已知 三道入射光線 與光軸的夾角L1=1,2,3 度。

三道光線的物距 相同 L1=-24，

介質制的折射率 N1=1,N2=1.5180,

列出Maple 方程式：

f1 := sin(i) = sin(U)*(L1-r)/r;

f2 := sin(i2) = N1*sin(i1)/N2

f3 := U1+i1 = U2+i2

f4 := L2-r = sin(i2)*r/sin(U2)

> sys := {f1, f2, f3, f4};

sys:={ L2 - r = sin(i2) r/sin(U2), U + i = U2 + i2, sin(i) = sin(U) (L - r)/r,sin(i2) =N1 sin(i)/N2 }

g:=proc(U,L,r,N1,N2) {L2 - r=sin(i2)*r/sin(U2),U+i=U2+i2,sin(i)=sin(U)*(L - r)/r,sin(i2)=N1*sin(i)/N2} end proc;

將度化為弧度

> d1 := evalf(convert(-degrees, radians));

-0.01745329252

> d2 := evalf(convert(-2*degrees, radians));

-0.03490658504

d3 := evalf(convert(-3*degrees, radians))

d3 := -0.5235987758e-1
第一光線 在第一球面折射的三角方程組

> f5 := g(d1, -24, 10, 1, 1.5180);


f5:={ -0.01745329252 + i1 = U2 + i2, L2 - 10 = 10 sin(i2)/sin(U2),
sin(i) = 0.05933818190, sin(i2) = 0.6587615283 sin(i) }
第二光線 在第一球面折射的三角方程組

> f6 := g(d2, -24, 10, 1, 1.5180);

f6:={-0.03490658504 + i1 = U2 + i2, L2 -10 =10 sin(i2)/sin(U2), sin(i) = 0.1186582888, sin(i2) = 0.6587615283 sin(i) }

第三光線 在第一球面折射的三角方程組

f7 := {-0.5235987758e-1+i = U2+i2, L2-10 = 10*sin(i2)/sin(U2), sin(i) = .1779422513, sin(i2) = .6587615283*sin(i)}

光線追蹤： 第1光線在第一球面折射後的夾角，像距、入射角和折射角

> fsolve(f5);

{L2 = 148.6115927, U2 = 0.002820093360, i1 = 0.05937305901,i2 = 0.03909967313}
光線追蹤： 第2光線在第一球面折射後的夾角，像距、入射角和折射角

> fsolve(f6);

{L2 = 145.1313098, U2=0.0057845922, i1 = 0.1189385152,i2 = 0.07824733803}
光線追蹤： 第3光線在第一球面折射後的夾角，像距、入射角和折射角

> fsolve(f7);

{L2 = 139.6225687, U2 = 0.009043418012, i1 = 0.1788949332,i2 = 0.1174916376}
第1 光線 在第二球面折射的三角方程組

> f51 := g(0.2820093360e-2, 147.938, -5, 1.5180, 1);

： { 0.002820093360 + i = U2 + i2, L2 + 5 = -5 sin(i2)/ sin(U2),

sin(i) = -0.08625977332, sin(i2) = 1.5180 sin(i) }
第2 光線 在第二球面折射的三角方程組

> f61 := g(0.5784592167e-2, 144.551, -5, 1.5180, 1);

{0.0057845922 + i = U2 + i2, L2 + 5 = - 5 sin(i2)/ sin(U2),
sin(i) = -0.1730173437, sin(i2) = 1.5180 sin(i) }
第3 光線 在第二球面折射的三角方程組

> f71 := g(0.9043418012e-2, 139.046, -5, 1.5180, 1);

{ 0.009043418012 + i = U2 + i2, L2 + 5 = - 5 sin(i2) /sin(U2),
sin(i) = -0.2605300870, sin(i2) = 1.5180 sin(i) }
光線追蹤： 第1光線在第二球面折射後的夾角，像距、入射角和折射角

> fsolve(f51);

{L2 = 8.710016670, U2 = 0.04777242746, i = -0.08636710598,i2 = -0.1313194401}
光線追蹤： 第2光線在第二球面折射後的夾角，像距、入射角和折射角

> fsolve(f61);

{L2 = 8.469472346, U2 = 0.09764977648, i = -0.1738923957,i2 = -0.2657575800}
光線追蹤： 第3光線在第二球面折射後的夾角，像距、入射角和折射角

> fsolve(f71);

{L2 = 8.053825707, U2 = 0.1520676925, i = -0.2635712102,
i2 = -0.4065954847}

最後答案，三道光線經透鏡折射後的相距分別為， 8.710016670、8.469472346、8.053825707

三道光線的相距並不在同一點上，角度越大的光線，相距更近(球面相差）

參考文獻

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  • A.E.Conrady, Applied Optics and Optical Design p6-20 Dover（用八位對數表、三角函數表計算結果為8.7088，8.4701，8.0545）。
  • 何青 王麗芬編著 Maple 教程 科學出版社
  • Martha L. Bell &James Braselton, Maple V by Example
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