在本教程中，我們會涉足變換矩陣（transformation matrices）的世界，以便讓我們可以平移、旋轉以及縮放我們的三角形。

設置矩陣事宜

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一些在使用矩陣時要在意的地方（tidbits）：

變換是通過對4x4的矩陣進行逆序相乘達成的。M = M_translation * M_rotation 意味著首先旋轉，然後平移。
單位矩陣（identity matrix）是指那種什麼都不做的矩陣——沒有任何變換。
爲了變換一個頂點（vertex），我們使用矩陣對它進行相乘：v' = M * v
4x4矩陣僅能被用在4x1向量上——該向量是由我們將1增加在第4維上後所獲得的：(x, y, z, 1)。

爲了完成這些乘法運算，我們需要一個數學函數庫。著色器帶有對矩陣運算內置、簡易的支持，但是通常情況下我們需要從C代碼中操縱矩陣。這樣做也更加高效，因爲著色器是爲每個頂點執行的，所以說預先計算矩陣是更佳的做法。

該教程將使用OpenGL Mathematics (GLM) 庫，它由C++寫成。GLM有意識地使用和GLSL一樣的約定，於是會更容易起步。它的文檔也描述了對已聲明不贊成使用的OpenGL 1.x和GLU函數——例如glRotate、glFrustum或gluLookAt——的替代選擇，這將會對那些已經在使用它們的人有很大幫助。

替代項也存在，例如libSIMDx86（順便一提，它也可以工作在非x86處理器上）。你也可以自己寫矩陣代碼，畢竟它也不是很長——可以參考Mesa 3D示例mesa-demos-8.0.1/src/egl/opengles2/tri.c中的代碼。

GLM是一個純頭文件的庫，所以你不需要修改Makefile，而只需要確保頭文件被安裝在一個標準路徑中。來安裝GLM：

apt-get install libglm-dev  # Debian, Ubuntu
dnf install glm-devel  # Fedora

我們現在可以增加GLM頭文件了：

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>

使用3D的點

我們的變換矩陣是爲3D頂點而設計的。即使我們現在處於2D，也可以利用Z=0來將三角形描述成3D點集。總之，我們會在下個教程中轉移到3D物體上去 :)

在triangle.cpp中給OpenGL定義它（每個頂點3個元素）：

struct attributes {
  GLfloat coord3d[3];
  GLfloat v_color[3];
};

然後，在init_resources()中

  struct attributes triangle_attributes[] = {
    {{ 0.0,  0.8, 0.0}, {1.0, 1.0, 0.0}},
    {{-0.8, -0.8, 0.0}, {0.0, 0.0, 1.0}},
    {{ 0.8, -0.8, 0.0}, {1.0, 0.0, 0.0}}
  };

...

  attribute_name = "coord3d";
  attribute_coord3d = glGetAttribLocation(program, attribute_name);
  if (attribute_coord3d == -1) {
    cerr << "Could not bind attribute " << attribute_name << endl;
    return false;
  }

修改render()中對頂點數組的初始化：

  glVertexAttribPointer(
    attribute_coord3d,   // attribute
    3,                   // number of elements per vertex, here (x,y,z)
    GL_FLOAT,            // the type of each element
    GL_FALSE,            // take our values as-is
    sizeof(struct attributes),  // next coord3d appears every 6 floats
    0                    // offset of first element
  );

相應地，替換掉'attribute_coord2d'的其他出現之處，並且告訴著色器使用新的坐標：

attribute vec3 coord3d;
[...]
void main(void) {
  gl_Position = vec4(coord3d, 1.0);

創建變換矩陣

GLM帶有內置的函數以計算旋轉、平移和縮放矩陣。一起在logic()中增加變換矩陣，並且計算一個漸進的旋轉及所搭的（combined）平移：

void logic() {
	float move = sinf(SDL_GetTicks() / 1000.0 * (2*3.14) / 5); // -1<->+1 every 5 seconds
	float angle = SDL_GetTicks() / 1000.0 * 45;  // 45° per second
	glm::vec3 axis_z(0, 0, 1);
	glm::mat4 m_transform = glm::translate(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(move, 0.0, 0.0))
		* glm::rotate(glm::mat4(1.0f), glm::radians(angle), axis_z);
  [...]

glm4(1.0f)是單位矩陣，意味著我們在草稿狀態已經開始進行變換。

傳遞變換矩陣

就像我們在前一個教程所看到的那樣，我們會增加一個新的律態——藉由glUniformMatrix4fv：

  /* Global */
  #include <glm/gtc/type_ptr.hpp>
  GLint uniform_m_transform;

  /* init_resources() */
  uniform_name = "m_transform";
  uniform_m_transform = glGetUniformLocation(program, uniform_name);
  if (uniform_m_transform == -1) {
    cerr << "Could not bind uniform_fade " << uniform_name << endl;
    return false;
  }

  /* logic() */
  glUniformMatrix4fv(uniform_m_transform, 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(m_transform));

如果你不是在使用GLM，傳遞指向一個GLfloat[16]數組的指針應當足夠。就像這樣：

  GLfloat matrix[16] = {...};
  glUniformMatrix4fv(uniform_m_transform, 1, GL_FALSE, matrix);

頂點著色器僅僅需要拿我們上面所見的那個矩陣去乘頂點：

uniform mat4 m_transform;
void main(void) {
  gl_Position = m_transform * vec4(coord3d, 1.0);
  [...]

注意到我們仍然有外觀比例的問題（就像在一個16:9的顯示器上全屏觀看電視節目一樣）。我們會在下個教程中使用Model-View-Projection矩陣解決它。

進行試驗！

還記得我們提到過要逆序運用矩陣麼？在我們的例子中，首先是旋轉，然後是平移。

可以試試用另一種方式去做：你會使該三角形在移動後再旋轉，這意味著它會繞著原點旋轉而不是繞著它自己的中心。