小学数学

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教科书总是针对特定的读者的，而并非越艰深、越详尽就越好，本书假定读者没有任何数学基础，介绍一些数学的基础知识及简单的应用，针对的读者主要是自学的成人和有家长指导的儿童，所以我们使用的语言将适当贴近但不限于儿童能够理解的范围。关于本书的格式，请参考小学数学格式指南。

自然数

导言

　　你会数数吗？也许你会不屑的说：”我早就会了！“那么你最大能数到多少呢？你会做加法、减法、乘法和除法吗？你知道分配律是什么吗？如果还不是特别清楚的话，就来读一读这一章的内容吧。

　　让我们还是回到数数的问题上来。什么是数数呢？我们先看一个例子：小明有一篮苹果，小红也有一篮苹果，可是谁的更多一些呢？我们就需要比一比。一个办法是小明和小红每次各吃一个苹果，看谁的先吃完，谁的就少一些，另一个人的就多一些。当然更聪明一点儿的办法是把苹果同时从篮子里取出来，每次各取一个，谁的苹果先取尽，谁的就少些，这样就不用把苹果都吃完了。那么如果两个人都在家里，只能通过电话联系呢？那也好办，他们可以每拿出一个苹果就在电话里说一句“苹果”，这样就能保证两个人每次同时各拿出一个苹果了。但如果电话也不通，只能写信呢？那也好办，我们可以让小明每取出一个苹果，就在信纸上画一个苹果，等取完了苹果，信纸上的苹果就和小明篮子里的苹果一样多了。当然了，要把一个苹果画得像并不是那么容易的事，不过只要小红明白他想画的是苹果也就可以了，不需要画得那么像，甚至小明可以简单的把每个苹果画成一个方块，像这样
口口口口
只要小红知道每个方块代表一个苹果就可以了。如果小明不能直接给小红写信，他们都只能给小刚写信呢？那也没关系，他们可以都把苹果画成方块或者别的什么，把信寄给小刚，像这样
小明：口口口口
小红：口口口口口口
小刚只要比一比他们谁画的方框更多就行了。这里有两件事是重要的，第一，方框和苹果长得像不像都没关系，只要每个方框代表一个苹果就可以；第二，只要比较小明和小红画的方框，看谁的多一些，就可以知道谁的苹果更多一些。所以我们不但可以用方框表示苹果，还可以用来表示橘子，葡萄，铅笔，汽车，随便什么能数的东西都可以。当然我们也可以不用方框，比如小红用横线来表示苹果，于是小刚收到的信会是下面的样子
小明：口口口口
小红：一一一一一一
我们看到口口口口口口和一一一一一一代表的含义其实是一样的，只是符号不同，如果大家用的符号都不一样，就不大方便，一个简单的办法是大家约定都用相同的符号，比如方框，这样不管是谁都认得了。可以说这些方框就是我们这一章的主角————自然数。不过如果两人要比较的不是苹果，而是瓜子，这样的画法就太麻烦了，所以我们还要用更简单的符号来代替这些方框。

9以下（包括9）的数

导言

我们先不急着去数瓜子吧，先来看看最小的几个自然数。当然它们无非就是口、口口、口口口……，不过像前面说的，我们要用更简单一些的符号来代替它们。实际上不同国家有不同的符号，我们下面列出中国、罗马、印度的符号如下

9以下的数字

中国的数字	罗马的数字	印度的数字	我们的方块符号
一	I	1	口
二	II	2	口口
三	III	3	口口口
四	IV	4	口口口口
五	V	5	口口口口口
六	VI	6	口口口口口口
七	VII	7	口口口口口口口
八	VIII	8	口口口口口口口口
九	IX	9	口口口口口口口口口

这就是最小的几个自然数，为了书写方便，我们以后都采用印度使用的符号（每个数字最多用两笔就能写完），它们被称为阿拉伯数字，这也是国际上通用的做法。当然，书写的方便是有代价的，那就是我们需要记住这些数字的顺序，也就是每个数字的下一个是什么，如果画方框就可以避免这个麻烦，所以我们的新符号似乎并不比方框更好，不过请相信我，一旦你熟悉了它们，你将会发现它们比方框好用得多，下面我们就先和这9个数字来交个朋友吧。

认识9以下的数

导言

我们在这一小节里先学习书写这9个数字。

正文

有一首儿歌可以帮助我们记住它们怎样书写：

1像铅笔细又长，

2像小鸭水上漂，

3像耳朵听声音，

4像小旗随风摇，

5像衣钩挂衣帽，

6像豆芽咧嘴笑，

7像镰刀割青草，

8像麻花拧一道，

9像勺子能盛饭，

0像鸡蛋做切糕。

数字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
读音
手写体
联想

关于最后一个数字0，我们前面没有提到过，将在下一节介绍它。

课外扩展

要学会这些数字需要花一番功夫才行，下面我们再看看数字的其它形式

数字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
汉字
电子屏幕上的数字
手语

习题

读出以下数字。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

9以下的数的加法

导言

我们已经认识了9以下的数字，这样我们数数的时候不是

口->口口->口口口->口口口口

而是

1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 -> 9

当然我们也完全可以用别的符号，比如汉字，只要你记得住它们的顺序就可以了，不过为了后面的方便，我们主要使用上面的1、2、3、4、5、6、7、8和9。 记住了顺序其实就是给出一个数，能够知道它的下一个是什么，比如我们数到3，再数下去就是4。所以每数一个数，我们就从这个数出发得到了另一个数，也就是它的下一个。这种从已知的数得到未知的数的过程称为运算。我们只考虑那些每次得到一个新的数字的运算。

运算:从已知的数得到一个未知的数的过程.

像我们前面说的从一个数数到它的下一个数，就是一种运算，更准确的说，是一种一元运算。

一元运算:从一个已知的数得到一个未知的数的过程.

这一节我们将讨论一种二元运算，也就是一种从两个已知的数得到一个未知的数的过程。

二元运算:从两个已知的数得到一个未知的数的过程.

如果你觉得自己被这些定义搞糊涂了，那么别着急，我们可以先往下看，等学完这一节，你就清楚它们在说什么了。

正文

还是让我们先来看一个例子吧。假设爸爸买了一篮苹果，妈妈也买了一篮苹果。

爸爸
数数	1	2	3
妈妈
数数	1	2
一共
数数	1	2	3	4	5

你数一数爸爸的苹果，发现有3个；你又数了数妈妈买的苹果，发现有2个。如果你不关心是爸爸买的还是妈妈买的，那么你可以重新数一遍，数完爸爸的3个苹果之后别停下来，接着数妈妈的2个，这样你就数到了5，一共有5个苹果。也就是数到3之后再数2个数就数到了5，我们把它写成

$3 + 2 = 5$

这里"$+$"叫作加号，读作“加”；"$=$"叫作等号，读作“等于”。

为了说得更明白一些，我们可以回忆一下我们的方块数字，爸爸有口口口个苹果，妈妈有口口个苹果，把口口口和口口放在一起就是口口口口口，我们把它写成

口口口 $+$ 口口 $=$ 口口口口口

我们为了写起来容易，把口口口写成3，把口口写成2，把口口口口口写成5，也就是用阿拉伯数字来写，就是上面的样子了。我们再来看一个例子吧，小刚有3支铅笔，小红有2支铅笔，他们一共有多少支铅笔？

小刚
数数	1	2	3
小红
数数	1	2
一共
数数	1	2	3	4	5

小刚有3支铅笔，小红有2支，放在一起数就是数到3时，再数2个数，就是5，所以一共有5个，即 $3+2=5$ 比较这两个例子我们看到，不论是铅笔还是苹果，3个和2个放到一起，都是5个。所以不管数什么我们都可以写成$3+2=5$，它的含义是数数数到3之后再数2个数得到5，也就是3个东西和2个东西放在一起一共有5个东西。这里的东西可是苹果，可以是铅笔，可以随便是什么。

这种把两个数放在一起得到一个新的数的过程就叫作加法。

加法:把两个数放在一起得到它们一共是多少的运算

我们来看一个例子

例题
	题目: $4+3=?$（4加3等于几？）
	解答: 4加3就是先数到4，然后再数3个数，即5,6,7，所以 $4+3=7$
	O

课外扩展————数数与加法

这里我们再讨论一点数数与加法的关系。一个数加几就是再它后面再数几个数，所以学会了加法，我们可以数数数得更快些，比如我们熟悉了2+2=4，4+2=6，6+2=8，那么我们在数数的时候就可以“两个两个的数”，这样数起来就是2,4,6,8，假设有8支铅笔，用4次就可以数完了。当然，你也可以三个三个的数。而数数就是一个一个的数，也就是每次加上1。实际上我们在数数时就学会了"+1"，它是最特殊的加法，然后我们又通过数数，也就是一个数加一，学会了两个数相加的加法。

习题

计算： 1+2= 3+5= 4+2= 5+4= 3+6= 7+2= 6+2= 7+1= 5+3=

20以下的数

导言

前面我们已经学习了9以下的数，那么数数数到9之后接着数下去是多少呢？如果用我们的方框数字，就是在9个方框后面再添一个方框，这样当我们数很大的数的时候就会写得很长很长，如果每个数字都用一个符号来代表（就像阿拉伯数字中的1-9），那样虽然不会便得很长，但是每增加一个数字就要多认识一个，这也不方便。怎样做才好呢？我们这一节就来学习。

正文

如果能重复使用数字就方便得多，所以9的下一个数我们还用1来表示，为了和真正的1区分，我们在1后面添一个新的符号0，就写成10，读作“十”。0表示个位上没有数。它的下一个数字写作11，读作“十一”。11的后面是12,13,14...19。为了明确，我们列一个表

方框数字	口口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口	口口口口口口口口口口 口口	口口口口口口口口口口 口口口	口口口口口口口口口口 口口口口
阿拉伯数字	10	11	12	13	14
方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口
阿拉伯数字	15	16	17	18	19

这种由两个数字组成的数叫做两位数，右面的叫作个位，左面的叫作十位。我们可以这样理解：十位上的1代表10，个位上的数字是几就是十位上的10后面再数几个数，也就是10加几。例如13就是10+3, 16就是10+6。

数到19，我们个位上的数字已经把上一小节学的9个数字都用完了，如果再数一个数呢，个位上的数字就要变成10，没法用一位数写出来了，这时，我们实际上有了2个10，十位上的1代表10，个位上也有一个10，那么我们就在十位上写2，代表这两个10，个位上写0，就可以了，这就是19后面的数字，也就是19+1，写作20，读作“二十”。

方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口
阿拉伯数字	20

课外扩展

古代的人最初是没有0的，他们只是把个位空出来，但是这样10就不容易和1区分（10写作1 ），所以后来才发明了0，用来占位，虽然写了一个0，但是这个写出来的数字却代表个位上什么都没有，这就是0的含义。有的教科书也把0作为一个自然数，你可以在数数前先数一个0，然后再从1开始数，不过多数人还是愿意省下这个力气，所以在这本书里不把0看作自然数。事实上0是不是自然数并不重要，只要我们数相同的东西得到同样的结果就可以了。关于0的更多内容，我们将在“整数”那一节作更详细的介绍。

习题

加法的交换律

导言

前面我们学习了20以内的加法，我们做加法的方法就是数数。加法还有一些很重要的规律，掌握了这些规律可以让我们算得更快，我们这一节就来介绍一条规律——加法的交换律。下一小节介绍加法的结合律。

正文

我们先来再来看看苹果的例子。要知道爸爸和妈妈一共买了多少个苹果，就是把他们的苹果放到一起，然后数数有多少个，可以先数爸爸的，也可以先数妈妈的。

爸爸
数数	1	2	3
妈妈
数数	1	2
一共（第一种数法）
数数	1	2	3	4	5
一共（第二种数法）
数数	1	2	3	4	5

重要的是

数一些东西的时候，不管用什么方法、什么顺序去数，得到的结果都相同。

这是数学里常常用到的规律，我们以后还会遇见它。对于上面数苹果的例子，就可以得到 $3+2=2+3$。这里等号表示它两边的计算结果相同。如果是4+5呢？那就相当于在问把4个方框和5个方框放在一起是几个，你也可以先数4个方框再数5个方框，也可以先数5个方框再数4个方框，也就是$4+5=5+4$。对于其它的数字相加也一样，所以我们有下面的规律，叫作加法的交换律

加法的交换律：交换两个相加的数的位置，和不变。

举一些例子来写：

$2+6=6+2$

$3+8=8+3$

$9+4=4+9$

$5+5=5+5$

$7+9=9+7$

……

为了表示所有这些等式，我们用两个字母A和B来代替等式里的数字，写作

加法的交换律：$A+B=B+A$

这里A和B可以是任何数字，左边的A和右边的A要相同，左边的B也要和右边的B相同，A和B既可以相同也可以不同。这种用字母表示数的方法更简单直观，我们今后将尽量使用这种方法说明运算的规律。

例题
	题目: 求$5+2$
	解答: $5+2=2+5=7$
	O

习题

加法的结合律

导言

前面我们讨论了两个数相加的运算，这一节我们将讨论3个数相加的规律——加法的结合律。我们先介绍复合运算的顺序和括号，再介绍加法的结合律。

正文

假设小刚有3支铅笔，小红有2支铅笔，小亮有1支铅笔，他们一共有多少铅笔呢？我们可以这样计算，先把小刚和小红的铅笔放到一起，比如放在老师手里，有3+2=5支铅笔，再考虑老师和小刚一共有多少铅笔，就是5+1=6支铅笔，所以小刚、小红和小亮一共有6支铅笔。这里我们计算了两次：

$3+2=5$

$5+1=6$

为了书写简单一点儿，我们把这个计算过程写在一起，写成下面的样子

$(3+2)+1=5+1=6$

其中(和)叫做小括号，括号总是成对出现的，放在括号里面的部分作为一个整体去参与其它的运算，所以括号里的部分要先计算。例如上面的例子中括号里面的3+2要先计算出结果5再去和后面的1相加。

应用我们前面讲到的规律，把三份东西放到一起去数总可以先数其中两个，所得的总数不变。下面我们再用方框数字举一个例子，来形象的说明这个道理

	(口口口口口 口口口口)口口口口口口口
$=$	口口口口口 口口口口 口口口口口口口
$=$	口口口口口(口口口口 口口口口口口口)

用阿拉伯数字写出来就是(5+4)+7=5+(4+7)，其它数字的加法也是类似的，因此有

加法的结合律：$(A+B)+C = A+(B+C)$

跟加法的交换律一样，这个用字母表示的式子的意义是：把每个字母都换成一个数字，并且相同的字母换成相同的数字，不同的字母既可以换成相同的数字，也可以换成不同的数字，那么等式总是成立的。

例如，把A换成5，B换成4，C换成7，就是我们前面所写的式子。又如把A换成3, B换成4， C换成9，那么上面的式子就表示 $(3+4)+9 = 3+(4+9)$。

可以验证一下这个等式： 左边$=(3+4)+9=7+9=16$，右边$=3+(4+9)=3+13=16$，可见左右两边确实是相等的。

有时候应用加法的交换律和结合律可以让我们的计算更简便，我们来看一个例子：

例题
	题目: 求$(7+4)+6$
	解答: $(7+4)+6=7+(4+6)=7+10=17$
	O

习题

20以下的数的减法

导言

已知小刚有A个苹果，小红有B个苹果，我们就可以算出他们一共有A+B个苹果。反过来，如果小刚有C个苹果，分给小红D个苹果，小刚还剩多少苹果呢？这时就需要减法。我们这一小节就来学习减法，并讨论它和加法的关系。

正文

我们还是来看一个具体的例子吧。假设你有7个苹果，送给朋友3个，你自己还剩几个呢？我们至少有两种办法可以算出你还剩几个苹果。下面我们分别来讨论。

第一种方法。回忆我们做加法的办法，我们可以先练习倒着数数，像这样10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。我们从7开始，每拿走一个苹果就倒着数一个数，这样，拿走3个苹果，我们就数6, 5, 4，所以还剩4个苹果。

第二种方法。我们可以这样想，如果朋友把那3个苹果拿回来，你自己就又有7个苹果了，所以我们把你自己剩下的苹果和你送给朋友的3个苹果加起来就是你原来的7个苹果，因此我们只要知道3+?=7就可以了。于是我们可以从3开始数数，4, 5，6，7，数到7时数了4个数，所以你还剩4个苹果。

我们把这种从一个数里拿走一部分，求剩下多数的运算叫做减法。

减法:这种从一个数里拿走一部分，求剩下多数的二元运算

从上面的第二种方法我们还可以知道，减法也是已知一个加数与和，求另一个加数的运算，因此我们说减法是加法的逆运算。

我们来看一道例题

例题
	题目: $14-5=?$
	解答: 从14起倒着数5个数，是13, 12, 11, 10, 9，所以$14-5=9$。
	O

也可以这样做

例题
	题目: $14-5=?$
	解答: 原题就是问$5+?=14$， $5+1=6$， $5+2=7$， …… $5+9=14$, 所以$14-5=9$。
	O

对于20以内的加减法的结果，我们需要熟记，以后要经常用到它们。

习题

数的运算在生活中的应用

正文

习题

100以下的数

导言

前面我们认识了20以下的数，并学习了20以下的数的加减法，这些是以后学习的基础。那么比20更大的数呢？这一节我们将认识100以下的数，并讨论它们的加减法，下一节我们将介绍一位数的乘法。现在让我们向比20更大的数进军吧。

认识100以下的数

导言

这一小节，我们先来认识100以下的数。

正文

前面我们学习了20以下的数。（更准确的说我们介绍了20以下的阿拉伯数字的写法，其实如果用我们最初的方框数字，这些都很容易，只要在一个数的后面添一个方框就是它的下一个数了。不过我们的阿拉伯数字要简洁得多，这一点的优势后面会看得更清楚。）那么20的下一个是什么呢，类似于10的下一个数记作11，我们把20的下一个数记作21，读作“二十一”，接下去是22, 23, 24, 25..., 29, 30, 31, 32, ...读作“二十二”， “二十三”， “二十四”， “二十五”……“二十九”，“三十”，“三十一”，“三十二”……十位上的数字是几就读几十，个位上的数字是几就读几，0不读。

看一看这些符号和我们的方框数字的关系可能会有助于理解。

方框数字	口口口口口口口口口口 口	口口口口口口口口口口 口口	口口口口口口口口口口 口口口	口口口口口口口口口口 口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口
阿拉伯数字	11	12	13	14	15
方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口
阿拉伯数字	16	17	18	19	20
方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口
阿拉伯数字	21	22	23	24	25
方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口
阿拉伯数字	26	27	28	29	30
方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口
阿拉伯数字	31	32	33	34	35
方框数字	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口	口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口
阿拉伯数字	36	37	38	39	40

阿拉伯数字的十位对应方框数字有多少个整行（每行10个方框），即代表有几个10，个位代表除去整行还剩下多少，这样我们就可以一直数下去，直到99，99就是9个10零9个，再加1呢，就是10个10，所以在十位写10，个位上没有，写0，即100，读作“一百”。

习题

100以下的数的加法

导言

前面我们学习了20以内的数的加减法，又认识了100以内的数，那么100以内的数的加减法你会做吗？当然你也可以照样用我们原来的办法，通过数数来计算，不过如果计算33+62这样的加法，数起数来就不大方便了，实际上我们有更好的办法，这一小节就来学习100以内的加减法。

正文

我们的方框数字做加法是最方便的，因为只要把两个数的方框放在一起就可以了，我们就先来看一个例子：$20+30=?$用我们的方框数字可以这样计算：

口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口

+

口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口

=

口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口

要知道和是多少，就要数一数最右边有多少个方框。每行有10个，被加数有2行，加数有3行，所以一共是2+3=5行，所以和是5个10即50。 类似的我们还可以算出30+40=70, 20+60=80, 等等。

那么不是整十的数怎样算呢，我们再来看一个例子：$25+31=?$用我们的方框数字可以这样计算：

口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口

+

口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口

=

口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口口口口口 口口口口口口

先数整行，被加数有两个整行，加数有三个整行，加起来有2+3=5个整行，是50。再数剩下的部分，被加数的个位是5，加数是1，所以剩下的是5+1=6。把两者放在一起就是最后的结果56。

我们实际上利用了前面学过的加法的交换律和结合律来帮忙。明显的写如来就是

例题
	题目: $25+31=?$
	解答: $25+31=(20+5)+(30+1)=(20+30)+(5+1)=50+6=56$
	O

例题
	题目: $18+24=?$
	解答: $13+24=(10+3)+(20+4)=(10+20)+(3+4)=30+7=37$
	O

从上面的例子我们可以总结出两位数的加法法则

两位数相加，就是把个位和十位分别相加，个位的和满10就向十位进1。

为了书写明确，我们可以在计算时列竖式书写，例如：

例题
	题目: 列竖式计算$25+37=?$
	解答: 25 + 37                  1   62
	O

习题

100以下的数的减法

正文

习题

乘法与除法

导言

前面我们学习了100以内的数的加法与减法两种运算，下面我们将学习两种新的运算——乘法与除法，这一小节我们先学习一位数和一位数的乘法，并以此为例子，介绍乘法的运算规律，最后介绍除法。对于更大数字之间的乘法和除法我们留待认识多位数之后介绍。

什么是乘法呢？乘法就是求几个相同加数的和的运算。

乘法:乘法就是求几个相同加数的和的运算。

这样说起来可能太抽象了，我们还是从具体的例子说起吧。下面的图里一共有多少条鱼呢?

你当然可以用数数的办法，把结果数出来，你会发现有15条鱼。如果你观察一下，还会发现，每一行都有5条鱼，所以一共有5+5+5=15条鱼，用这种办法只要数出一行有多少条鱼（5条），在数出有多少行（3行），然后把这3个5加起来就行了。如果有8行呢，那就是5+5+5+5+5+5+5+5，实际生活中，我们经常会遇到这样的情况，为了方便，我们不把加法写的这样长，而发明一种新的符号来代表相同的意思，我们把8个5相加写成$5\times 8$，$\times$叫做乘号，上面的式子读作"五乘以八“。

一位数和一位数的乘法

导言

和加法一样我们先学习一位数和一位数的乘法。

正文

既然乘法就是求几个相同加数的和，我们可以像前面的例子那样，通过加法计算乘法，计算的结果列成一个乘法表，如下所示。

1	$1 \times 1 = 1$
2	$1 \times 2 = 2$	$2 \times 2 = 4$
3	$1 \times 3 = 3$	$2 \times 3 = 6$	$3 \times 3 = 9$
4	$1 \times 4 = 4$	$2 \times 4 = 8$	$3 \times 4 = 12$	$4 \times 4 = 16$
5	$1 \times 5 = 5$	$2 \times 5 = 10$	$3 \times 5 = 15$	$4 \times 5 = 20$	$5 \times 5 = 25$
6	$1 \times 6 = 6$	$2 \times 6 = 12$	$3 \times 6 = 18$	$4 \times 6 = 24$	$5 \times 6 = 30$	$6 \times 6 = 36$
7	$1 \times 7 = 7$	$2 \times 7 = 14$	$3 \times 7 = 21$	$4 \times 7 = 28$	$5 \times 7 = 35$	$6 \times 7 = 42$	$7 \times 7 = 49$
8	$1 \times 8 = 8$	$2 \times 8 = 16$	$3 \times 8 = 24$	$4 \times 8 = 32$	$5 \times 8 = 40$	$6 \times 8 = 48$	$7 \times 8 = 56$	$8 \times 8 = 64$
9	$1 \times 9 = 9$	$2 \times 9 = 18$	$3 \times 9 = 27$	$4 \times 9 = 36$	$5 \times 9 = 45$	$6 \times 9 = 54$	$7 \times 9 = 63$	$8 \times 9 = 72$	$9 \times 9 = 81$
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

如果你仔细观察一下，就会发现，这张表右上方的部分是空的，那是因为乘法也跟加法一样有交换律和结合律，只要记住了表上的乘法就可以轻松的把空出来的部分补齐。关于乘法的交换律和结合律我们留到下一小节在讨论。就像一位数跟一位数的加法一样，一位数跟一位数的乘法是以后计算的基础，因此我们需要熟记这些乘法的结果，为了便于记忆，我们可以背诵下面的乘法口诀歌，歌诀的意思跟上面的乘法口诀表是对应的。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	一一得一									1
2	一二得二	二二得四								2
3	一三得三	二三得六	三三得九							3
4	一四得四	二四得八	三四十二	四四十六						4
5	一五得五	二五一十	三五十五	四五二十	五五二十五					5
6	一六得六	二六十二	三六十八	四六二十四	五六三十	六六三十六				6
7	一七得七	二七十四	三七二十一	四七二十八	五七三十五	六七四十二	七七四十九			7
8	一八得八	二八十六	三八二十四	四八三十二	五八四十	六八四十八	七八五十六	八八六十四		8
9	一九得九	二九十八	三九二十七	四九三十六	五九四十五	六九五十四	七九六十三	八九七十二	九九八十一	9
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

课外扩展

关于乘号。

现在过去的乘号有不同的写法，有的不写，有的用一个字母代替，有的写成一个圆点，我们这里介绍的乘号是英国数学家奧特雷德发明的。因为乘法跟加法有密切的关系，他把加号“＋”旋转了45度，变成$\times$作为乘号，并流传开来。

在计算机的键盘上，通常没有$\times$，绝大多数计算机语言使用"*"作为乘号，例如用5*8表示$5\times 8$。

习题

乘法的交换律与结合律

导言

和加法的交换律与结合律类似，乘法也有交换律跟结合律，这一节我们就来学习它们。

正文

前面我们用不同的方法数同样的一堆物品而得到了加法的交换律与结合律，这一小节我们还要用类似的方法来得到乘法的交换律与结合律。 我们在引入乘法时举了一个数鱼的例子，事实上，我们不但可以按行数，还可以按列来数，不管怎样数，如下图所示得到的都是鱼的总数，所以

第一种方法，每行有5条，共3行，所以一共有$5\times3$条鱼 第二种方法，每列有3条，共5列，所以一共有$3\times 5$条鱼 或者用我们的方框数字写出来就是

	口口口口口$\times$口口口
$=$	口口口口口
	口口口口口
	口口口口口
$=$	口口口口口 口口口口口 口口口口口
$=$	口 口 口	口 口 口	口 口 口	口 口 口	口 口 口
$=$	口口口$\times$口口口口口

所以我们可以得到$5\times3=3\times5$

从上面的例子我们可以总结出、

乘法的交换律:$A\times B=B\times A$

类似的我们还可以得到乘法的结合律，例如考虑$(5\times 3)\times4$，用方框数字可以写成下面的样子

	口口口口口$\times$口口口$\times$口口口口
$=$	口口口口口 口口口口口 口口口口口
	口口口口口 口口口口口 口口口口口
	口口口口口 口口口口口 口口口口口
	口口口口口 口口口口口 口口口口口

我们如果先数表格的每一格，每行有5个方框，共有3行，所以有$5\times 3$个方框，一共有这样的4格，所以一共有$(5\times3)\times4$个方框。 我们还可以先数整个表格一共有多少行，因为每一格有3行，共4格，所以一共有$3\times4$12行，每行有5个方框，所以一共$5\times(3\times 4)$个方框。 根据我们前面反复使用的规律，不管怎样数，方框的数目都是一样多，所以$(5\times3)\times4 = 5\times(3\times4)$。 上面的方法跟具体是每行有5个方框还是6个还是7个……都没有关系，跟每个方格里有3行还是4行还是5行……也没有关系，跟整个表格有4格还是5格还是6格……也没有关系，所以我们可以总结出下面的规律

乘法的结合律:$(A\times B)\times C = A \times (B\times C)$

适当的应用乘法的交换律和结合律有时会给我们的计算带来方便，例如

例题
	题目: $(2\times4)\times 5=?$
	解答: $(2\times 4)\times 5 = (4\times 2)\times 5 = 4\times(2\times 5)=4\times 10 = 40$
	O

课外扩展

乘法表示几个相同的数相加，那么几个相同的数相乘呢，我们也可以用一种新的符号来表示，例如:$3\times 3\times 3\times 3 = 3^{4}$

习题

乘法对加法的分配律

导言

前面我们学习了加法的交换律与结合律、乘法的交换律与结合律，那么加法和乘法之间有没有什么规律呢？的确有，这一小节我们就来学习加法和乘法之间的规律——乘法对加法的分配律。

正文

我们还是看一个数数的例子，这里画的是鱼，当然，和前面的例子一样，换成别的什么或者我们的方框数字，都是类似的。

图里一共有多少条鱼呢？我们可以有两种不同的数法，一种是先数每一行有$5+2$条鱼，再数一共有$3$行，所以，共有$(5+2)\times 3$条鱼。 我们还可以换一种方法，先数左边，有$5\times 3$条鱼，再数右边，有$2\times 3$条鱼，所以一共有$5\times 3+2\times 3$条鱼。 用不同的数法，鱼的总数不变，所以$(5+2)\times 3 = 5\times 3+ 2\times3$，换成其它的数字也是类似的，因此我们有

乘法对加法的分配律:$(A+B)\times C=A\times C+B\times C$

根据加法的交换律和乘法的交换律，我们还可以得到乘法分配律的另一种形式

乘法对加法的分配律:$C\times (A+B)=C\times A+C\times B$

习题

带余数的除法

导言

除法不可能都除尽，余下来的叫“余数”。

正文

习题

更大的数

导言

前面我们识了100以内的数，并学习了加、减、乘、除，四种运算。这一小节我们将介绍更大的数，以及它们的运算。

认识多位数

导言

这一小节我们来学习100以上的数的读法和写法。

正文

我们先来回忆一下两位数的写法。我们数数数到9以后，接下来的数字不再发明新的符号，就用一个两位数10来表示，然后每数一个数就在个位上增加1，即11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19，可以这样理解11就是10+1，12就是10+2，13就是10+3……，19就是10+9，再继续数就要遇到10+10即$10\times2$，我们在十位上写2表示2个10，即$20=10\times 2$。数到99以后，我们再数下去个位上变成10，所以在十位增加1，个位写0，9＋1＝10，所以十位上写10，也就是说变成了一个3位数，100。基本的规则是，每当某一位上的9还需要加1时，就把它改成0，并在比它更高的一位上加1，这叫做“逢十进一”。一个多位数从右向左依次叫做个位、十位、百位、千位、万位……跟书写类似，我们不想为每一位都起个新名字，接下来叫做十万位、百万位、千万位。千万位之后是亿位，接下来是十亿位、百亿位、千亿位、万忆位、十万亿位、百万亿位、千万亿位。

课外扩展

实际上我们很少会用到万以上的数字，当数字很大时，使用科学计数法会方便得多，例如100000写成$1\times 10^{5}$，40000000写成$4\times 10^{7}$。这里只是个非常粗略的描述，具体怎样使用科学计数法，要在学习了小数之后才能详细介绍。

习题

多位数的加减法

正文

习题

多位数的乘法

正文

课外扩展

中国古代没有竖式，各种运算是用算筹帮助完成的，例如$38\times 76=2888$是如下图那样计算的

习题

多位数的除法

正文

习题

质数与合数

导言

你玩过积木吗？你可能有很多三角形，有很多正方形，有很多长方形，然后就可以拼出一辆汽车、一个房子或者其它的什么，而这些东西拆开来，也不过是三角形、正方形和长方形这三种。数字也有类似之处。如果我们只考虑加法，那么1就像是最简单的积木，所有其它的数都是由一些1拼起来（相加）的，加法就像只有正方形的积木。乘法要比加法复杂一些，有些数是其它的数相乘得到的，有些不是，我们在这一章就要讨论复杂的数是怎样由简单的数相乘得到的。

约数与倍数

导言

用积木搭汽车的时候，你可能先摆出一个车身，再摆出车轮，然后把他们组合到一起就成了一辆汽车，我们可以说车身和车轮都是汽车的一部分。在数字和乘法里也有类似的现象，这一小节我们就来学习它——约数与倍数。

正文

如果$A$除以$B$所得的余数是$0$，即$A=B\times C$，我们就说$A$是$B$的倍数，$B$是$A$的约数，我们也说$B$能整除$A$，记作$B|A$。(当然因为乘法有交换律，我们同时也说A是C的倍数，C是A的约数。)例<：$6=2\times 3$，我们说6是2的倍数，2是6的约数。又如$18=6\times 3$，我们说18是6的倍数，6是18的约数。 一个数有很多倍数，也可能有很多约数。因为对于任何自然数$A$，总有$A = A\times 1$，所以$1$和$A$都是$A$的约数。

又因为一个数$A$的约数总是不会超过$A$，所以要找出一个数$A$的所有约数，只要考虑所有不超过$A$的数$B$，如果某个不超过$A$的数$B$能够整除$A$，那么$B$就是$A$的约数，否则就不是。例如要找出7的所有约数，我们只要逐一考查1,2,3,4,5,6,7是不是7的约数。$1\times7=7$，所以1是7的约数。$7/2=3\cdots1$，所以2不是7的约数。类似的可以知道3,4,5,6都不是7的约数，显然7是7的约数，所以7只有两个约数，即1和7。

要得到一个数的倍数，我们就用另一个自然数乘它，例如5的倍数有$5\times 1=5$, $5\times2=10$, $5\times 3= 15$, $5\times 4 = 20\cdots$

习题

质数与合成（合數）数

导言

前面讨论的约数和倍数，如同讨论积木中的车身与车的关系，这一节我们要把那些最基本的正方形、三角形的积木，和它们拼出来的图案区分开，也就是说要考虑哪些数是由其它的数拼出来的（相乘得到的），哪些不是。

正文

对于任何自然数$A$，都有$A=1\times A$，所以$1$和$A$都是$A$的约数。我们希望把自然数分成两类，一类是由其它的数相乘得到的，另一类是不能由其它的数得到的。也就是说考虑一个数$A$，除了$A=1\times A= A\times 1$以外还能不能写成其它的两个数的乘积。用我们上一小节的语言来说就是一个数除了$1$和$A$以外还有没有其它的约数。因为$1$是个特殊的数，它只有$1$个约数，我们通常单独考虑它。

质数:如果$A$是一个自然数，并且$A$的约数只有两个，即$1$和$A$，那么这个数称为质数。

合数:如果$A$是一个自然数，并且$A$除了$1$和$A$以外还有其它约数，那么这个数称为合数。

$1$既不是质数，也不是合数。下面我们来看一个例子：

例题
	题目: $42$是质数还是合数?
	解答: $42=2\times21$，所以除了$1$和$42$以外,$2$也是$42$的约数，因此$42$是合数。
	O

当然在上面的例子中，不仅$2$是42的约数，21也是。$42$被分解成$2$和$21$的乘积。$2$是质数，不能再分解，$21$是还是个合数，我们可以把它也分解开，注意到$14=3\times7$，所以$42=2\times3\times7$，现在$2$, $3$, $7$都是质数，已经不能再分解了，这样我们就把一个合数$42$分解为几个质数（$2$, $3$, $7$）的乘积，这个过程叫做分解质因数。

分解质因数:把一个自然数分解成几个质数的乘积的过程叫做分解质因数。

因为所有的合数都可以分解成质数的乘积，所以它们都是某个质数的倍数，要判断一个数$A$是不是合数，只要检验每一个比$A$小的质数$B$，看$A$是不是$B$的倍数。如果$A$是$B$的倍数，那么$A$是合数，如果所有小于$A$的$B$都不是$A$的倍数，说明$A$无法分解成比它小的质数的乘积，于是$A$是质数。

就像积木拼出来的图形不论先拆哪一部分，最后拆完都是哪些基本的积木一样，合数的分解与过程无关，最后得到的质因数都是一样的。我们有下面的规律

把一个数分解质因数，所得到的质数除了顺序可能不同以外，结果只与要分解的那个数有关，而与分解的过程无关。

为什么说$1$既不是质数，也不是合数呢？ 如果我们说$1$是一个质数，那么让我们来看这样一个例子：

例题
	题目: $2$是质数还是合数?
	解答: 因为我们刚才说$1$现在是一个质数，而且$2=2\times1$， $2$分解为 $2$和 $1$两个质数了，所以$2$是一个合数了。但是，$1=1\times1$，所以$2$ 又可以分解为$2$, $1$, $1$三个质数。以此类推，$2$还可以分解为$2$, $1$, $1$，$1$四个质数，$2$, $1$, $1$，$1$，$1$五个质数……这样可就破坏了我们刚刚说的规律了，$1$也就不是质数或合数。而$2$的约数由于只有$1$和它自己，也就成为一个质数了
	O

所以，我们为了不破坏上面的规律，只好说$1$既不是质数，又不是合数了。

习题

公约数与公倍数

导言

前面讨论的都是某一个数的约数或倍数，这一小节我们要讨论两个数的共同约数和倍数。

正文

公约数、最大公约数:两个数共同的约数称为这两个数的公约数。这些公约数中最大的那个称为它们的最大公约数。

公倍数、最小公倍数:两个数共同的倍数称为这两个数的公倍数。这些公倍数中最小的那个称为它们的最小公倍数。

我们来看2个例子

例题
	题目: $12$和$18$的最大公约数是多少？
	解答: 12的约数有：1,2,3,4,6,12; 18的约数有：1,2,3,6,9,18.它们的公约数有1,2,3,6，其中最大的是6，即6是12和18的最大公约数
	O

例题
	题目: $12$和$18$的最小公倍数是多少？
	解答: 12的倍数从小到大依次有：12,24,36,48,60,72...; 18的倍数从小到大依次有：18,36,54,72...因此它们的公倍数从小到大依次是36,72...，其中最小的是36，即36是12和18的最小公倍数
	O

像上面的例子中那样计算两个数的最大公约数和最小公倍数需要列出两者所有的公约数和最小的几个公倍数，对于比较大的数字就不那么方便了。下面我们学习两种比较简便的方法，来计算两个数的最大公约数和最小公倍数。

习题

1. 想想看为什么我们只定义最大公约数和最小公倍数，却没有定义两个数的“最小公约数”和“最大公倍数”呢？

本章习题参考答案

1.任意两自然数的所谓“最小公约数”皆为1；任意两自然数的公倍数皆为其最小公倍数之倍数，无最大自然数，故无所谓“最大公倍数”.

分数

认识分数

导言

表述一个数的一部分要用到分数。

平面图形

导言

你会画画吗？也许你会说：“会！爸爸妈妈都夸我画的好！”那么，你都会画什么呢？你也许又说：“房子，西瓜，花，书，山……我都会！”但是，你知道你画的这些东西都是由什么构成的吗？如果你还不是特别清楚，那么就接着往下看吧！

我们来看一个关于平面图形的例子吧：找来一个茶叶筒和一盒饼干，把它们放在纸上，再用铅笔把底部描在纸上，你看到了什么？对啦！一些由铅笔画出的线条构成的图形，这两个图形就被称做平面图形。因此，我们说

平面图形:所表示的各个部分都在同一平面内的图形被称为平面图形。

方程

用字母表示数

导言

我们先来看一首儿歌吧：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通扑通跳下水。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通跳下水。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿，扑通扑通跳下水。

四只青蛙四张嘴，八只眼睛十六条腿，扑通扑通跳下水。

……

如果我要想知道$5$只青蛙有多少张嘴的话该怎么办呢？我们可以把这首儿歌接着说下去：

……

五只青蛙五张嘴，十只眼睛二十条腿，扑通扑通跳下水。

……

这样就得到了我们想要的结果。但是，如果我想知道一百只青蛙有多少张嘴，或者一群我们不知道数目青蛙的嘴有多少的时候，该怎么办呢？本节，我们将会告诉你一种更方便的方式。

正文

我们回到数青蛙的问题上。如果我们不使用数字，而是用字母来代替数字的话，会是怎样的呢？或者说，用一句话来表示这首儿歌？

例题
	题目: 用一句话来表示刚才的这首儿歌
	解答: $n$只青蛙$n$张嘴，$2n$只眼睛$4n$条腿，扑通扑通跳下水
	O

习题

计算八只青蛙、十二只青蛙各有几张嘴。