國中數學/國中數學八年級/7-1 變數與函數
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本章節我們將介紹變數與函數。
變數
[编辑]誠泰書店的鉛筆每枝元,雨婷到這家書店買了枝鉛筆,總共花了元,則我們可以列出關係式,而如果知道鉛筆的數量,我們就可以知道雨婷所需要的花費,這時文字符號、我們稱作變數。而鉛筆的價格元在此情境中不會任意更動,我們說為常數。
小測
自變數與應變數(補充)
[编辑]在剛剛的雨婷買鉛筆的例子當中,我們知道:只要給定,我們就能決定的數值,此時我們稱為自變數,為應變數。
函數
[编辑]給定一個合理的數,如果恰好只有一個與之對應,則我們稱為的函數[註 1][註 2]。讀者需要注意的是,要判斷是否為的函數,你必須判斷是不是只要給定一個合理的,都只有對應到唯一的值;反過來說,要判斷是否為的函數,你必須判斷是不是只要給定一個合理的,都只有對應到唯一的值。我們用以下的例子來說明。
例題 某國中八年甲班有位男生,將他們的身高列表如下:
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解
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在這個例子中我們可以觀察到:雖然「身高」是「座號」的函數,但「座號」卻不是「身高」的函數,也就是說,「是的函數」並不代表「是的函數」。
隨堂練習
彩歆記錄她每天的早餐花費金額,下表是她六月份前十天的紀錄。
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
早餐花費金額(元) | 60 | 60 | 65 | 55 | 60 | 75 | 100 | 60 | 65 | 120 |
- 六月7日彩歆的早餐花費是多少元?[解 1]
- 知道六月1日到10日某一天的日期,是否可以知道彩歆早餐花費的金額?「早餐金額」是否為「日期」的函數?[解 2]
- 六月的前十天當中,哪些日子彩歆的早餐花費的金額是元?[解 3]
- 知道早餐花費的金額,是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花費嗎?「日期」是否為「早餐金額」的函數?[解 4]
函數關係可以透過列表觀察而得,也可以透過圖表獲得。如以下例題所示。
例題 在維基百科介紹關於Thoralby這個英格蘭小鎮有一張人口趨勢圖,如下所示: 此圖表的橫軸是西元年份,縱軸為人口數,單位是人。則看圖表回答下列問題:
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解
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在例題中,如果反過來,我們知道Thoralby地區的居民人數,但對應的年份可能有不只一個數值,所以「西元年份」並不是「居民人數」的函數。
函數可以「一對一」或「多對一」,但不可以「一對多」或「一對無」。理解函數關係,可以想像「函數」其實就像是體重計一樣,如果體重計是正常的沒有壞掉,則:
- 只要有人站上體重計上面,就會有體重數值。
- 可能有很多人的體重是一樣重的。
- 你不能站上體重計,卻同時有好幾個不同的體重。(除非你還沒有站穩)
- 你也不能站上體重計卻沒有任何體重。
例題 便利商店的綠茶每瓶元。小希到便利商店買了瓶綠茶和個元的御飯糰,在沒有任何優惠的情況下,小希總共要付元。則:
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解
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隨堂練習
正方形的邊長為公分,面積為平方公分。則:
函數值
[编辑]若是的函數,則當的值,我們稱作此函數在時的函數值[註 3]。
例題 設函數。
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解
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隨堂練習
設函數。則:
註解
[编辑]- ↑ 國中階段不提函數的符號。
- ↑ 事實上,函數的自變數與應變數不一定是數,例如:為臺灣人名,是的姓,此時由函數的定義可知是的函數。只是數學上大多討論「數」對應到「數」的函數。
- ↑ 設函數,則的函數值我們用來表示。