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國中數學/國中數學八年級/7-1 變數與函數

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 6-4 等比數列 國中數學八年級
7-1 變數與函數
7-2 函數圖形與線型函數 

本章節我們將介紹變數與函數。

變數

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誠泰書店的鉛筆每枝元,雨婷到這家書店買了枝鉛筆,總共花了元,則我們可以列出關係式,而如果知道鉛筆的數量,我們就可以知道雨婷所需要的花費,這時文字符號我們稱作變數。而鉛筆的價格元在此情境中不會任意更動,我們說常數

小測

  

1 「一天有24小時,其中白天有小時,夜晚有小時,於是我們可以列出關係式。」在這段敘述中,下列哪些是「變數」?(答案可能不只一個)

2 以涵以時速公里的速度騎腳踏車,過了小時之後以涵總共騎乘公里。我們可以列出關係式為。」在這段敘述中,下列哪些是「常數」?(答案可能不只一個)

自變數與應變數(補充)

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在剛剛的雨婷買鉛筆的例子當中,我們知道:只要給定,我們就能決定的數值,此時我們稱自變數應變數

函數

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給定一個合理的數,如果恰好只有一個與之對應,則我們稱函數[註 1][註 2]。讀者需要注意的是,要判斷是否為的函數,你必須判斷是不是只要給定一個合理的,都只有對應到唯一的值;反過來說,要判斷是否為的函數,你必須判斷是不是只要給定一個合理的,都只有對應到唯一的值。我們用以下的例子來說明。

例題

某國中八年甲班有位男生,將他們的身高列表如下:

座號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高(公分) 153 164 167 152 147 169 164 152 159 161
  1. 已知富麟是此班的號,則富麟的身高是多少公分?
  2. 知道此班某男生的座號,可以知道他的身高是多少公分嗎?「身高」是否為「座號」的函數?
  3. 此班身高為公分的學生座號是幾號?
  4. 知道此班某男生的身高,可以知道他是幾號嗎?「座號」是否為「身高」的函數?
  1. 從表格可知號是公分,所以富麟的身高是公分。
  2. 此班每個座號的男生都有他的身高,因此只要知道此班某男生的座號,透過表格就能夠知道他的身高。給定一個座號就能夠找到對應的身高,所以「身高」是「座號」的函數。
  3. 從表格可知公分的學生有號和號。
  4. 不能確定,例如在第3題中,身高是公分的學生有號和號,所以「座號」不是「身高」的函數。

在這個例子中我們可以觀察到:雖然「身高」是「座號」的函數,但「座號」卻不是「身高」的函數,也就是說,「的函數」並不代表「的函數」。

隨堂練習
彩歆記錄她每天的早餐花費金額,下表是她六月份前十天的紀錄。

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
早餐花費金額(元) 60 60 65 55 60 75 100 60 65 120
  1. 六月7日彩歆的早餐花費是多少元?[解 1]
  2. 知道六月1日到10日某一天的日期,是否可以知道彩歆早餐花費的金額?「早餐金額」是否為「日期」的函數?[解 2]
  3. 六月的前十天當中,哪些日子彩歆的早餐花費的金額是元?[解 3]
  4. 知道早餐花費的金額,是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花費嗎?「日期」是否為「早餐金額」的函數?[解 4]


函數關係可以透過列表觀察而得,也可以透過圖表獲得。如以下例題所示。

例題

在維基百科介紹關於Thoralby這個英格蘭小鎮有一張人口趨勢圖,如下所示:

A_line_graph_showing_the_population_for_Thoralby

此圖表的橫軸是西元年份,縱軸為人口數,單位是人。則看圖表回答下列問題:

  1. 西年時,在Thoralby這個地區大約有多少位居民?
  2. 給定西元年份,是否可以知道該年在Thoralby地區大約有多少位居民?「居民人數」是否為「西元年份」的函數?
  1. 從折線圖可以看出Thoralby這個地區大約有位居民。
  2. 給定年份,往上交折線圖於一點,然後再往左對就會有大約的居民人數,所以「居民人數」是「西元年份」的函數。

在例題中,如果反過來,我們知道Thoralby地區的居民人數,但對應的年份可能有不只一個數值,所以「西元年份」並不是「居民人數」的函數。

函數可以「一對一」或「多對一」,但不可以「一對多」或「一對無」。理解函數關係,可以想像「函數」其實就像是體重計一樣,如果體重計是正常的沒有壞掉,則:

  1. 只要有人站上體重計上面,就會有體重數值。
  2. 可能有很多人的體重是一樣重的。
  3. 你不能站上體重計,卻同時有好幾個不同的體重。(除非你還沒有站穩)
  4. 你也不能站上體重計卻沒有任何體重。


例題

便利商店的綠茶每瓶元。小希到便利商店買了瓶綠茶和元的御飯糰,在沒有任何優惠的情況下,小希總共要付元。則:

  1. 列出的關係式。
  2. 是否為的函數?
  1. 的關係式為
  2. 只要知道小希買了幾瓶綠茶,就會知道小希的花費,所以的函數。

隨堂練習
正方形的邊長為公分,面積為平方公分。則:

  1. 列出的關係式。[解 5]
  2. 是否為的函數?[解 6]

函數值

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的函數,則當值,我們稱作此函數在時的函數值[註 3]

例題

設函數

  1. 的函數值。
  2. 時,得到的函數值,則是多少?
  1. 代入函數可知函數值為
  2. 代入函數可知函數值為,而題目說此數為,所以可以列出一元一次方程式

隨堂練習
設函數。則:

  1. 的函數值。[解 7]
  2. 是整數,且時其函數值為負數,則最大是多少?[解 8]

註解

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  1. 國中階段不提函數的符號
  2. 事實上,函數的自變數與應變數不一定是數,例如:臺灣人名,的姓,此時由函數的定義可知的函數。只是數學上大多討論「數」對應到「數」的函數。
  3. 設函數,則的函數值我們用來表示。

隨堂練習解答

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  1. 元。
  2. 是;是。
  3. 六月日、日。
  4. 否;否。
  5. 是。
  6. ,所以最大是