国中数学/国中数学八年级/7-1 变数与函数
6-4 等比数列 | ◄ | 国中数学八年级 7-1 变数与函数 |
► | 7-2 函数图形与线型函数 |
本章节我们将介绍变数与函数。
变数
[编辑]诚泰书店的铅笔每枝元,雨婷到这家书店买了枝铅笔,总共花了元,则我们可以列出关系式,而如果知道铅笔的数量,我们就可以知道雨婷所需要的花费,这时文字符号、我们称作变数。而铅笔的价格元在此情境中不会任意更动,我们说为常数。
小测
自变数与应变数(补充)
[编辑]在刚刚的雨婷买铅笔的例子当中,我们知道:只要给定,我们就能决定的数值,此时我们称为自变数,为应变数。
函数
[编辑]给定一个合理的数,如果恰好只有一个与之对应,则我们称为的函数[注 1][注 2]。读者需要注意的是,要判断是否为的函数,你必须判断是不是只要给定一个合理的,都只有对应到唯一的值;反过来说,要判断是否为的函数,你必须判断是不是只要给定一个合理的,都只有对应到唯一的值。我们用以下的例子来说明。
例题 某国中八年甲班有位男生,将他们的身高列表如下:
|
解
|
在这个例子中我们可以观察到:虽然“身高”是“座号”的函数,但“座号”却不是“身高”的函数,也就是说,“是的函数”并不代表“是的函数”。
随堂练习
彩歆记录她每天的早餐花费金额,下表是她六月份前十天的纪录。
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
早餐花费金额(元) | 60 | 60 | 65 | 55 | 60 | 75 | 100 | 60 | 65 | 120 |
- 六月7日彩歆的早餐花费是多少元?[解 1]
- 知道六月1日到10日某一天的日期,是否可以知道彩歆早餐花费的金额?“早餐金额”是否为“日期”的函数?[解 2]
- 六月的前十天当中,哪些日子彩歆的早餐花费的金额是元?[解 3]
- 知道早餐花费的金额,是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花费吗?“日期”是否为“早餐金额”的函数?[解 4]
函数关系可以透过列表观察而得,也可以透过图表获得。如以下例题所示。
例题 在维基百科介绍关于Thoralby这个英格兰小镇有一张人口趋势图,如下所示: 此图表的横轴是西元年份,纵轴为人口数,单位是人。则看图表回答下列问题:
|
解
|
在例题中,如果反过来,我们知道Thoralby地区的居民人数,但对应的年份可能有不只一个数值,所以“西元年份”并不是“居民人数”的函数。
函数可以“一对一”或“多对一”,但不可以“一对多”或“一对无”。理解函数关系,可以想像“函数”其实就像是体重计一样,如果体重计是正常的没有坏掉,则:
- 只要有人站上体重计上面,就会有体重数值。
- 可能有很多人的体重是一样重的。
- 你不能站上体重计,却同时有好几个不同的体重。(除非你还没有站稳)
- 你也不能站上体重计却没有任何体重。
例题 便利商店的绿茶每瓶元。小希到便利商店买了瓶绿茶和个元的御饭团,在没有任何优惠的情况下,小希总共要付元。则:
|
解
|
随堂练习
正方形的边长为厘米,面积为平方厘米。则:
函数值
[编辑]若是的函数,则当的值,我们称作此函数在时的函数值[注 3]。
例题 设函数。
|
解
|
随堂练习
设函数。则:
注解
[编辑]- ↑ 国中阶段不提函数的符号。
- ↑ 事实上,函数的自变数与应变数不一定是数,例如:为台湾人名,是的姓,此时由函数的定义可知是的函数。只是数学上大多讨论“数”对应到“数”的函数。
- ↑ 设函数,则的函数值我们用来表示。