基础力学

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本书致力于用高等数学的语言比较系统、细致、简练、严格地介绍经典力学的内容,如果您更偏爱不使用微积分的语言,欢迎您移步至高中物理现在本书的内容还很不完善,因此希望对此有了解的人能够为编辑做出贡献,不管是撰写某一章节的内容,添加一些图片,修正一些错误,添加一些更为深入的解释,或者是增加一些练习题。

本书的内容目前已经很长,并且稍后可能会变得更长,因此章节的内容可能被移至子页面中,而在本页面中仅保留一个目录,这将造成本页的内容被大量删除。

关於格式,可参考基础力学/格式指南.

总目录

第一章:运动的描述

1.1 位置的确定

1.2 运动的描述

1.3 简单的运动形式

1.4 曲线运动的概念

1.5 运动的独立性

1.6 抛体运动

1.7 万有引力与天体运动

1.8 相对运动

1.9 练习题

第二章:牛顿运动定律及应用

2.1 牛顿运动定律

2.2 力的概念

2.3 常见的作用力

2.4 伽利略相对性原理

2.5 非惯性系与惯性力

2.6 量纲

2.7 受力分析

2.8 练习题

第三章:动量与角动量

3.1 冲量、动量与动量定理

3.2 动量守恒定律

3.3 角动量与角动量定理

3.4 角动量守恒定律

3.5 练习题

第四章:功与能

4.1 功与能

4.2 动能定理

4.3 势能

4.4 机械能守恒定律

4.5 碰撞

4.6 练习题

第五章:刚体的运动

5.1 刚体的概念

5.2 刚体定轴转动

5.3 转动惯量的计算

5.4 定轴转动的运动规律

5.5 平面运动

5.6 角动量与角速度

5.7 陀螺的进动

5.8 练习题

引言[编辑]

物理学研究世界万物的运动规律,物理学中两个基本的问题是:如何描述世界在某一时刻的状态,世界的状态随着时间的流逝而变成什么样子。力学所关心的就是世间万物机械运动的规律,或者说怎样描述物体的位置,以及它们位置怎样随时间而改变。本书的第一章解决前一个问题,第二章解决第二个问题。有了这两章的基础,我们就打好了理论的基础,接下来的第三章是一些重要的实例,而第四章会从前面的基础理论出发推导出一些更深刻结果。

点的运动[编辑]

在人的通常经验里,物体占据着空间,并可以随着时间的流逝而连续地改变其所占据空间的部分。 运动学研究这个现象中蕴含的常定规律。 亦即运动学的任务:描述随时间的推移物体空间位置的变化规律,而不分析物体运动的力学原因。这一章讨论最基本的问题:点的运动问题。点的运动问题等价于在时空坐标系中点的运动轨迹的确定问题。在定义参照系后,我们介绍点的时空变量之间要满足的一组数学约束--伽利略变换。

运动的数学模型[编辑]

本节我们构建研究点的运动所需要的数学模型:我们将看到微积分和解析几何在运动学中的应用。

问题的简化:质点[编辑]

日常生活中的物体,都是有形状、大小的。然而,准确的分析物体上每一点的运动是有困难的。因此,如果研究的物体的大小、形状对所研究的问题无关紧要的话,我们就可以忽略物体的大小、形状,而将物体仅仅看作一个有质量的点,称为“质点”。质点是运动学中重要的理想化模型

质点带质量的几何点称为“质点”

[1]

一般来说,“点”给人的印象是它非常小。然而一个物体你能否被简化为质点与其大小无关,而仅仅与研究问题的性质有关。如果研究的问题只与(或主要取决于)物体的质量和位置,而不涉及(或可忽略)其大小、结构、转动,则不论其大小,均可看成质点,如研究地球绕太阳的运行轨迹,而非其自转时,即可将其看作质点;反之若是研究乒乓球的自旋,或者火车通过不很长的铁轨所用的时间,则不能将其看作质点。

物体的运动与静止:参考系[编辑]

我们可能会认为,自己能够很正确、轻松的判断出物体是否在运动,并且在同一时刻,一个物体是否运动是惟一确定的。果真如此吗?如果你站在地上,看到一辆汽车飞驰而过,你一定认为道路是“静止”的,而汽车是“运动”的;不过我想问问你,如果你坐在车里时,你是否看见路旁的树、商店、道路飞快的向后奔去?如此一来,车岂不是成了“静止”的,而道路是“运动”的?当然你可以辩解说,这仅仅是你的错觉。好!让我们再把眼光放远一点,假定你定居在太阳之上(当然那不可能,你瞬间就会被汽化),看着地球上的道路(假定你是千里眼),这回?呵呵,它们又运动了吧?还是错觉?你不是常说,地球绕着太阳转吗?

有点乱了?从以上的例子里,我们可以得出一个结论:物体的运动和静止是相对的。我们再来分析一下,当你说“车子在动”时,其实有一个隐含的假设:地没在动。当你说,地球绕着太阳转是,也隐含一个假设:太阳没在动。因此,我们还可以得出一个结论:物体动没动,取决于你所规定的“静止”的物体,而这个物体,就叫做“参考系”。

参考系要描述一个物体的运动,首先要选取某个“其他物体”作参考,观察物体相对于这个“其他物体”的位置是否随时间变化,以及怎样变化。这种用来做参考的物体称为“参考系”(參照物)

从理论上来说,参考系的选择是任意的,而如何选择参考系会影响物体的运动状态。。但是,实际在研究地球上的物体的运动的时候,往往以地面为参考系,因为这通常最方便。不过,在解决某些问题时,我们也可以变换参考系,使解决问题更加容易

位置和运动的定量描述:坐标系、位置与位移[编辑]

我们现在终于明白了如何判断物体是否在运动,可是,这只是定性的描述,如果我们想知道物体具体运动了多远,速度有多快,那又改怎么办呢? 考虑数学中建立坐标系以描述点的位置的方法,我们想到物理学里也可以这样做。 坐标系可以是一维(直线)、二维(平面)或三维(立体)的。一旦坐标系也建立好了,物体的位置就真正唯一确定了。当然了,坐标系的选择也会影响物体的运动状态。

在本章里,我们主要讨论直线运动,因此建立的坐标系也都是一维的,这可以减少接触“矢量”这一概念造成的麻烦。

物体在坐标系里的坐标就是它的位置,一般用符号x表示,在一维坐标系里,位置可以用一个实数表示,也可以用从原点(参考系)到物体的有向线段表示。比方说,以某物体为参考系,西侧为正方向,沿东西方向建立平面直角坐标系。则在坐标系东侧3m处的物体位置为-3m,西侧5m处的物体位置为(+)5m。


物理量
名称: 位置
符号:
类型: 矢量
定义: -
定义式: -
国际单位:
国际单位符号: m
其他常见单位: (千米)、(厘米)、(分米)、(毫米)
换算关系:
其他: -

没错,位置就是传说中的“矢量”:既有大小又有方向的方向的物理量,相对于“标量”,即只有大小没有方向的物理量,不过可能觉得费解,位置有什么“大小”、“方向”呢?

那么我们先来说说“位移”吧。“位移”,顾名思义,位置的移动,物理学中的位移也就是这么定义的。


物理量
名称: 位移
符号:
类型: 矢量
定义: 把物体位置的变化叫做“位移”
定义式:
国际单位:
国际单位符号: m
其他常见单位: (千米)、(厘米)、(分米)、(毫米)
换算关系:
其他: -


解释一下吧,接着拿刚才的那个一维坐标系说事。比方说,现在,小红(a)和小明(b)都在3m处,同在t时间之后,小明同学,在6m处,而可爱的小红,则在-5m处,敢问,此二人的位移各是多少? 好,我们严格套一下公式。 首先强调一下,不要被什么弄晕了。求位移一定要用末位置减去初位置。

解:

不错,不过现在我想问你一个问题,谁的位移更大?

从常识角度来说,显然是小红,他走得比小明多呀!可是数学上看怎么回事呢?

答案也很简单:这里(一维坐标系里),负号仅仅表示位移的方向,它的大小应该由所对应的实数的绝对值确定

现在,你应该能理解所谓“矢量是既有大小又有方向的物理量”了。

从数学上说,矢量本身不能比较大小,只能比较是否相等。因此,在比较矢量是否相等时,比较的是它们的大小和方向是否同时相等。也就是说,你往东走了五米,我往西走了五米,我们的位移不相等;但是,当比较矢量的大小时,实际上比较的是“矢量的大小”的大小(有点拗口)。

矢量的大小,记作正如数学里的绝对值一样,它是非负的。

所以,上面那个表达式应该改为

矢量上的箭头记号,物理学中往往可以省略。位移前的差量记号往往也可以省略,甚至位移可能被记做h,l,s等。

在描述一个矢量时,严格来说,必须同时描述它的大小和方向。

另外,我们还可以用有向线段来表示矢量,如位移可以用由初位置到末位置的有向线段来表示,此时,有向线断的长度表示矢量的大小,方向表示矢量的方向,其起点与矢量无关

现在,可以解释为什么位置也是矢量了:位置可以被理解为物体相对坐标系原点的位移。

那么,什么是位置矢量呢?以坐标系原点为起点向某一确定位置作有向线段,这条有向线段就是这个点的位置矢量r),简称位矢

既然都叫位置矢量了,所以它肯定是个矢量喽。

位置矢量和位移有什么关系呢?

位置矢量的变化量就是位移。

还有一个问题不得不说:位移绝对不是路程。一个最简单的例子可以说明它们的区别:你绕400米的操场跑了一圈,路程,为400米,位移:很不幸,根据定义:


物理量
名称: 路程
符号:
类型: 标量
定义: 物体运动路径的长度叫做“路程”
定义式: -
国际单位:
国际单位符号: m
其他常见单位: (千米)、(厘米)、(分米)、(毫米)
换算关系:
其他: -

对,路程是传统的“标量”,有大小,没方向,所以,请注意,物体的位移和路程不能相比较,因为他们的性质不同,一个是矢量,一个是标量。不过,位移的大小是可以与路程相比较的。考虑数学里“两点之间线段最短”的公理,我们可以得到:

定理:同一物体位移的大小,小于等于运动的路程,且当且仅当物体做单向直线运动时,等号成立。

物体运动的快慢:速度与速率[编辑]

讨论“速度”之前,先要说一说“时间”与“时刻”的差别。

简而言之,时刻,是时间轴上的一个点,譬如说8:00,而时间,即“时间的间隔”,则是时刻的差,是时间轴上的一段线,譬如说100分钟。

时间与时刻都是标量,时刻的记号是是,而时间的记号则是

考试时经常会涉及一些时间和时刻的表示方法,如5s末(相当于时刻t=5s),4s初(相当于时刻t=3s),3s内(相当于时间0-3s),第5s内(相当于时间4s-5s),也就这些了。

好,下面我们要说说速度,速度是干什么的呢?是用来衡量物体位置变化快慢的。

生活中,我们说,要比赛两个人谁跑的快,总得有个标准,要不然是两个人同样跑100m,比时间,要不然是两个人同时跑1分钟,比谁跑得远。要是时间、跑的距离都不一样,只怕速度也没法比了(当然,可以算速度吗,不过其实这个说法也不严谨)。因此,物理学中,我们把单位时间内物体所通过的位移叫做速度,这样时间一样了,谁跑得远,谁的速度就大。


物理量
名称: 速度
符号:
类型: 矢量
定义: 单位时间内物体通过的位移。(是衡量物体运动快慢的物理量)
定义式:
国际单位: 米/秒
国际单位符号: m/s
其他常见单位: km/h (千米/时)
换算关系: m/skm/h
其他: -


好,就拿这个说事。 速度,也是矢量,也有大小和方向,这个没问题。你往东跑往西跑显然结果不一样吗,要不然怎么有南辕北辙一说呢,不过这个定义要单说了,看看是谁去除以?对,是位移,so,如果今天你没交作业,老师罚你绕操场跑十圈,合着从物理学的角度讲,你的速度是,因此,请记住,物体的速度与路程无关,即与运动路径无关,只与位移有关。 假如跑道在刚开始的一段是直的,那么,你可能会想到,在你刚刚跑完圈的时候,你的速度还是正的,故此,可以看出,当物体的速度不断变化时,公式求得的速度并不能准确反映物体的运动状况,这时,我们把这个速度叫做平均速度。而物体在某一时刻的速度,就叫做瞬时速度。 速率和速度,一字之差,意义是有所不同的。瞬时速率指的是物体瞬时速度的大小,因此,它是个标量。不过平均速率可不是平均速度的大小,要不然,你这十圈岂不是真的白跑了?平均速率正是我们日常生活中所说的“速度”,它等于物体所走过的路程与物体运动时间的比值,它也是一个标量。

最简单形式的运动:匀速直线运动[编辑]

我们已经说过,如果一个物体的速度始终不变,那么,显然的,这个速度就足以精确的描绘物体的运动状态,此时,我们就可以说,物体在做匀速直线运动。不过定义用的完全不是这个思路,至于为什么呢,我也说不清。

匀速直线运动:物体在一条直线上运动,且在任意相等的时间间隔内的通过的位移相等,这种运动称为“匀速直线运动”。


务必要注意,这必须是在任意相等时间内通过的位移都相等。至于换成什么任意1s、2s内位移相等,统统是错的。还有一件事情不得不提,敢问,“匀速圆周运动”是“匀速运动”么? 哦,匀速圆周运动还没讲,不要紧,可以简单理解成某个物体匀速转圈,那么,是吗? 答案是否定的!注意!“匀速运动”是“匀速直线运动”的简称,只有直线运动才可能是此类运动。至于曲线运动,其速度方向不断变化,速度根本不可能时刻相等。

以下是匀速直线运动的公式,应当是足够简单的。

不过有一件事情要说明一下,实际物理题中很少打矢量符号,为什么呢,如果按照矢量的写法这个写法是有问题的,因为矢量不能相除,应该写做,然而实际上,这样只会造成不必要的麻烦,因为尽管以后会接触到方向不共线的物理量,但他们最后会被正交分解(以后再解释)。

速度变化的快慢:加速度[编辑]

好,既然仅用物体的“速度”只能精确描述物体的匀速直线运动的,那么,如果物体的速度不断变化,我们就无法描述其运动了吗?当然不是。至少,如果我们引入“加速度”这个物理量,那么还是可以精确描述速度均匀变化的物体的运动的。


物理量
名称: 加速度
符号:
类型: 矢量
定义: 加速度是物体速度的变化量与发生这一变化的时间的比值。(意义:是衡量物体速度变化快慢的物理量)
定义式:
国际单位: 米/秒
国际单位符号: m/s
其他常见单位: -
换算关系: -
其他: -

物体运动状态的图像表示:x-t与v-t图像[编辑]

x-t(有时也写作s-t) 图像的纵坐标是位移,横坐标是时间。其中,纵坐标表示的是物体在该时刻到原点的位移,也就是位置。某一点的切线斜率表示该点的速度,曲线与坐标轴围成的图形面积无特别意义。物体运动反向的标志是曲线斜率正负发生变化

v-t图像的纵坐标是物体的瞬时速度,横坐标是时间。其中,某一点的切线斜率表示该点的加速度,曲线与坐标轴围成的图形面积(区分正负)表示物体经过的位移。物体运动反向的标志是速度本身的正负发生变化,斜率变号仅仅表示物体的加速度方向,或者说,速度变化的趋势,发生了变化,而绝不表示物体运动反向

最后还要特别强调的是,别看那些的曲线很像你走的蜿蜒的小路,它们都不表示物体走过的路径。

匀变速直线运动[编辑]

匀变速直线运动:物体在一条直线上运动,且加速度不依赖于时间,这种运动称为“匀变速直线运动”。

加速度恒定意味着速度(随时间)的改变是均匀的,所以叫做“匀变速运动”。如果运动轨迹限制在一条直线上,称为直线运动,同时满足这两个条件就是“匀变速直线运动“了。加速度与初速度方向相同,可称为匀加速直线运动;加速度与初速度方向相反,可称为匀减速直线运动;但若物体运动途中速度改变方向,这两种就都不算了。

对于匀变速运动, 由定义 , 且 不依赖于时间,所以

类似的,对上式再作一次积分,得


在匀变速直线运动中,位移也可以用速度-时间图像讨论。速度与时刻呈一次函数关系,因此,匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线

因此,它与坐标轴围成的图像是一个梯形,梯形的面积也就是匀速直线运动的的位移。

又因为

故还有 (后面两个公式是非矢量形式的表达)

由此,我们也就可以看出,只要、这四个物理量中知道了3个,就可以求出t时刻的位移了。

考虑匀变速直线运动的平均速度,则有,这说明什么呀?匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度,很有意思,这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

[编辑]

力的概念[编辑]

什么是力?这个问题不好解释清楚,不过有一个可以死记一下的定义:

:力是物体间的相互作用。

力是物体间的相互作用,因此,力不能离开物体而独立存在。一个力涉及到施力物体和受力物体,其中施力物体是主动给予力的物体,而受力物体则是被动接受力的物体。不过,根据牛顿第三定律,施力物体同时也反作用于受力物体,而且做用力的大小相等方向相反(不再多说了,以后会再说到),因而受力物体同时也是施力物体,反之亦然。

力对物体有两种作用效果,一是使物体发生形变,如压缩弹簧;二是改变物体的运动状态,比方说球停在地上,你踢它一脚,它就飞了。

力有三个要素:大小、方向、作用点。其中任何一个要素的改变,对力的作用结果都有影响。其中前两个好理解,第三个可以举一个例子:比方说,靠近门轴的地方推门费劲大,远离门轴的地方推门费力小。

几种常见的力[编辑]

万有引力[编辑]

任何两个物体之间都存在相互吸引作用。物体之间的这种吸引作用普遍存在于宇宙万物之间,称为万有引力。其公式为:

重力[编辑]

重力:地球对物体引力的一个分力称为重力。

苹果树上的苹果为什么回落下来呢?因为重力。为什么你跳得再高还得回到地面上呢?还是因为重力。 地面上的一切物体都受到重力,重力的方向竖直向下(事实上竖直向下由当地重力方向定义),即使将地球视作正球体,严格来说,重力也并不指向地心(你可能要问究竟为什么,实际上这是由于地球自转,万有引力有一部分用来产生向心加速度了,这个稍后会解释)。 地面上同一点处物体受到重力G的大小跟物体的质量m成正比,用关系式G=mg表示。不同地点受到的重力不同,因为各个地点的重力加速度不同。

弹性力[编辑]

弹性物体因外力产生弹性形变后的恢复力。
实验表明在弹性范围内弹力的大小遵循胡克定律.

摩擦力[编辑]

两个互相接触的物体,当它们发生相对运动或有相对运动趋势时,就会在接触面上产生一种阻碍相对运动的力,这种力就叫做摩擦力。摩擦力在本质上是由电磁力引起的。 条件: 1.两物体相互接触. 2.两物体相互挤压,发生形变,有弹力. 3.两物体发生相对运动或相对趋势. 4.两接触面不光滑. 四个条件缺一不可。 摩擦力分为:

  • 静摩擦力 (压力越大,接触面越粗糙,静摩擦力越大)
  • 滑动摩擦力
  • 滚动摩擦力

多维的矢量[编辑]

一維:似弦運動的直線 二維:由二數數據組成,在平面體一點 三維:通常以x,y,z表達,以上提及 四維:同一時間界面以不同時間發生,形成光錐。

曲线运动[编辑]

运动轨迹为曲线的运动。

抛体运动[编辑]

抛体运动,概念:对物体以一定的初速度向空中抛出,仅在重力作用下物体所做的运动叫做抛体运动(projectile motion),它的初速度Vo不为0。抛体运动又分为竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动和斜抛运动

圆周运动[编辑]

在物理學中,圓周運動是在圓圈上轉圈:一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時,物體的體積大小會被忽略,並看成一點。這個點即被稱作質點

圓周運動的例子有:一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連接著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個均勻的磁場、一個齒輪在機器中的轉動(其表面和內部任一點)。

圓周運動以向心力提供運動物體所須的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。如果沒有向心力,那麼物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。儘管物體速率不變,但物體作圓周運動時仍然是有被加速的,因為物體的速度向量是不停地改變方向。

机械振动与机械波[编辑]

简谐振子[编辑]

在理想弹簧的一端放上一个质点就构成一个简谐振子。下面我们对这个问题作一些分析。 当弹簧处在其自然长度时,质点不受力,也就是说,如果质点在某一时刻处在此处,而且速度是0,那么它将一直静止在这里。下面我们考虑它偏离这个平衡位置的情形,显然,无论它向哪一侧偏离,弹簧的力都倾向于把它拉回平衡位置,并且它离平衡位置越远,这个回复力就越大,因此这个质点不能离开平衡位置太远,而每当它回到平衡位置时,由于惯性,它会继续沿着速度的方向运动,而不能立刻停下来,同时由于回复力的作用逐渐减速,直到速度为0,再向平衡位置加速靠近,直到再次通过平衡位置,如此往复运动。定量计算如下。

胡克定律: ,

牛顿第二定律: ,

二者联立: .

其解为: ,

其中: .

机械波[编辑]

参考书目[编辑]

  1. (简体中文)《高中物理必修一》.人民教育出版社,10.