統計學/线性相关

线性相关的概念及其统计描述

两个随机变量X、Y之间呈线性趋势的关系称为线性相关（linear correlation），又称简单相关（sample correlation），简称相关（correlation），线性相关的性质可由散点图直观地说明。

线性相关系数的意义及计算

线性相关系数（linear correlation coefficient）又称Pearson积矩相关系数（Pearson product moment correlation coefficient），是定量描述两个变量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标，其定义为
r(X,Y)=${\frac {Cov(X,Y)}{\sqrt {Var(X)Var(Y)}}}$[1]
其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var(X)为X的方差，Var(Y)为Y的方差。
当上式右端分别为总体协方差和总体方差时，左端便是总体相关系数，记为ρ。若ρ≠0，称X和Y线性相关，简称相关；若ρ=0，则称X和Y无线性相关。当上式右端分别为样本协方差和样本方差时，左端便是样本相关系数，记为r。
协方差（covariance）的定义及其含义:
当样本值为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,…,（x_n,y_n）时，将X和Y的样本均数分别记为${\bar {x}}$和${\bar {y}}$，
X的样本方差=${\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$
Y的样本方差=${\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$
类似地，有定义式
X和Y地样本协方差=${\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{n-1}}$[2]
可见，样本协方差是离均差乘积在样本中地平均。同样，离均差乘积在总体中的平均就是总体协方差。与总体方差一样，在实际中，总体协方差常常是未知的。