統計學/線性相關

線性相關的概念及其統計描述

兩個隨機變量X、Y之間呈線性趨勢的關係稱為線性相關（linear correlation），又稱簡單相關（sample correlation），簡稱相關（correlation），線性相關的性質可由散點圖直觀地說明。

線性相關係數的意義及計算

線性相關係數（linear correlation coefficient）又稱Pearson積矩相關係數（Pearson product moment correlation coefficient），是定量描述兩個變量間線性關係密切程度和相關方向的統計指標，其定義為
r(X,Y)=${\frac {Cov(X,Y)}{\sqrt {Var(X)Var(Y)}}}$[1]
其中，Cov(X,Y)為X與Y的協方差，Var(X)為X的方差，Var(Y)為Y的方差。
當上式右端分別為總體協方差和總體方差時，左端便是總體相關係數，記為ρ。若ρ≠0，稱X和Y線性相關，簡稱相關；若ρ=0，則稱X和Y無線性相關。當上式右端分別為樣本協方差和樣本方差時，左端便是樣本相關係數，記為r。
協方差（covariance）的定義及其含義:
當樣本值為（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,…,（x_n,y_n）時，將X和Y的樣本均數分別記為${\bar {x}}$和${\bar {y}}$，
X的樣本方差=${\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$
Y的樣本方差=${\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$
類似地，有定義式
X和Y地樣本協方差=${\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{n-1}}$[2]
可見，樣本協方差是離均差乘積在樣本中地平均。同樣，離均差乘積在總體中的平均就是總體協方差。與總體方差一樣，在實際中，總體協方差常常是未知的。