线性代数/引言

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简介[编辑]

线性代数是研究有限维线性空间的学科,矩阵和线性空间是其基本内容,是数学和其他学科的重要基础,在生产生活中有着广泛的应用。学好线性代数,对培养逻辑思维、空间想象能力也起到重要的作用。因此,各大院校理工、金融等诸多专业都以线性代数作为必修课程,足见其内容的重要性和通用性。

预备知识[编辑]

在学习主要内容之前,首先让我们对向量和矩阵有一个直观上的认识。

坐标向量[编辑]

在平面直角坐标系中,我们会用有序数对的形式表示一个点。我们对点可以定义其运算,例如点的平移:将点向右平移一个单位得到点,这个过程抽象地写成方程的形式,可以写作


如果我们用一个符号来代替,就可以把这个方程表示地更简洁一些:


这里的所代表的已经不是一个数了,而是有序数对。我们把这样的有序数对,连同的坐标,称为二维实坐标向量。上面的方程就成了一个向量方程,表示三个向量之间存在的关系。

我们通常从全体的角度去研究一类对象,我们把所有二维实坐标向量所组成的集合称为二维实向量空间。注意到,这个二维实向量空间,实际上是实数集与实数集之间的笛卡尔积。因此要表示一个变量为二维实坐标向量时,我们通常写成


维空间中的点,要确定其位置,需要个坐标分量,我们把这个分量组合而成的有序数组称为维实坐标向量。所有维实坐标向量组成的集合记为

更一般地,我们可以将实数域扩展到一般的数域中讨论向量。有如下定义:


向量可以定义其运算。设,则有

  • 向量取反:
  • 向量加法:
  • 向量减法:
  • 数乘:

上述定义都是很自然的,这里不加说明地直接给出。

向量之间可以比较是否相等。设,则当且仅当每个对应分量相等,即:。但是要注意,向量之间不能直接比较大小。

矩阵[编辑]

向量其实质是将数域做了笛卡尔积,由一个数扩展成了一组数。在书写中,我们常常把向量中包含的数写成一行或一列的形式,例如


前者称为行向量,后者称为列向量。在实际应用中,向量这种对数域的扩展形式往往还不够用,即它只作为某一个“方向”上的扩展(这里应理解为其书写的形式),如果我们沿两个方向扩展数域,就会得到更一般的形式,我们称之为矩阵。例如


就是一个3行2列的矩阵,通常称作3×2的矩阵。一般的的矩阵的全体记作。注意到,向量也可以看成是一种特殊的矩阵,所有维行向量的全体等价于,所有维列向量的全体等价于

这里我们没有给矩阵这种表达形式赋予它特别的含义,因为它的含义会随着实际应用的不同而不同。在这里我们将其看作是对向量的一个扩展即可。矩阵的定义、运算、性质将在后面的章节中详细的给出。

习题[编辑]

  1. 设集合,写出
  2. 模仿向量的定义,尝试定义矩阵;
  3. (选做)找一本抽象代数(或近世代数、代数结构)的课本,了解域的定义、性质,以及域上的运算。提示:域是一个集合以及集合上定义的两种运算“·”、“+”所组成的三元组。