線性代數/引言

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簡介[編輯]

線性代數是研究有限維線性空間的學科,矩陣和線性空間是其基本內容,是數學和其他學科的重要基礎,在生產生活中有着廣泛的應用。學好線性代數,對培養邏輯思維、空間想像能力也起到重要的作用。因此,各大院校理工、金融等諸多專業都以線性代數作為必修課程,足見其內容的重要性和通用性。

預備知識[編輯]

在學習主要內容之前,首先讓我們對向量和矩陣有一個直觀上的認識。

坐標向量[編輯]

在平面直角坐標系中,我們會用有序數對的形式表示一個點。我們對點可以定義其運算,例如點的平移:將點向右平移一個單位得到點,這個過程抽象地寫成方程的形式,可以寫作


如果我們用一個符號來代替,就可以把這個方程表示地更簡潔一些:


這裏的所代表的已經不是一個數了,而是有序數對。我們把這樣的有序數對,連同的坐標,稱為二維實坐標向量。上面的方程就成了一個向量方程,表示三個向量之間存在的關係。

我們通常從全體的角度去研究一類對象,我們把所有二維實坐標向量所組成的集合稱為二維實向量空間。注意到,這個二維實向量空間,實際上是實數集與實數集之間的笛卡爾積。因此要表示一個變量為二維實坐標向量時,我們通常寫成


維空間中的點,要確定其位置,需要個坐標分量,我們把這個分量組合而成的有序數組稱為維實坐標向量。所有維實坐標向量組成的集合記為

更一般地,我們可以將實數域擴展到一般的數域中討論向量。有如下定義:


向量可以定義其運算。設,則有

  • 向量取反:
  • 向量加法:
  • 向量減法:
  • 數乘:

上述定義都是很自然的,這裏不加說明地直接給出。

向量之間可以比較是否相等。設,則當且僅當每個對應分量相等,即:。但是要注意,向量之間不能直接比較大小。

矩陣[編輯]

向量其實質是將數域做了笛卡爾積,由一個數擴展成了一組數。在書寫中,我們常常把向量中包含的數寫成一行或一列的形式,例如


前者稱為行向量,後者稱為列向量。在實際應用中,向量這種對數域的擴展形式往往還不夠用,即它只作為某一個「方向」上的擴展(這裏應理解為其書寫的形式),如果我們沿兩個方向擴展數域,就會得到更一般的形式,我們稱之為矩陣。例如


就是一個3行2列的矩陣,通常稱作3×2的矩陣。一般的的矩陣的全體記作。注意到,向量也可以看成是一種特殊的矩陣,所有維行向量的全體等價於,所有維列向量的全體等價於

這裏我們沒有給矩陣這種表達形式賦予它特別的含義,因為它的含義會隨着實際應用的不同而不同。在這裏我們將其看作是對向量的一個擴展即可。矩陣的定義、運算、性質將在後面的章節中詳細的給出。

習題[編輯]

  1. 設集合,寫出
  2. 模仿向量的定義,嘗試定義矩陣;
  3. (選做)找一本抽象代數(或近世代數、代數結構)的課本,了解域的定義、性質,以及域上的運算。提示:域是一個集合以及集合上定義的兩種運算「·」、「+」所組成的三元組。